Sullo sviluppo di una fiuiBione reale di due variabili reali in serie ecc. 
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La funzione cp (0) risulta in tali condizioni integrabile fra 0 e 2x, tale essendo, come 
ben si sa, la f (x' -f- p cos 0, v' -|- p sen S) per successioni infinite di valori di p, aventi 
come limite lo zero. (*) 
Ciò posto riprendiamo la : 
F {x',y',h,h) 
f (x' -J- hu,y'-j- kv) e dii dv. 
Sia, come sopra, a una quantità positiva, abbastanza grande perchè si abbia : 
(U) 
F{x\ /, h,k)- 
•+ a 
f (x' -y- bu, y' -(- kv) e. du dv 
Poniamo h = k, ed al posto di ti e v sostituiamo rispettivamente p cos p sen 6, ove 
intendiamo, come sopra, che p V^ari fra o e -j- oo, e 0 fra o e La (14) diventa allora : 
F (x',y', k, k) 
‘P ( 6 ) 
p- 
/ (x'-f-kp cos 0, /+ kp sen 6) e p dp 
ove p(6) indica una funzione di 6, definita nel seguente modo ; 
P («) = « 
COS I 
a 
P^®^ = sen6 
P(') = -c^ 
Vuol dire che sarà in ogni caso: 
se 
I ^ 6 < 2Tt 
— < e < — 
3^ 
4 
St: 
— 4 
05) 
^ p (6) ^ a ì' 2 
Ora possiamo porre, per ogni p diverso da zero è per ipotesi tale) ; 
/ (x' -I- kp cos 6 , y -f- ^p sen 0) = cp (0) + (kp cos 0, kp sen 0). 
L’ uguaglianza non sussiste più per p = o, giacche in tale caso il primo membro è 
(*J Cf'r. Ar\elà : Sulle serie di funzioni ( Memorie della R. Acc. di Bologna. Parte 2 , § 3 1900 . 
Atti Acc., Serie V, Vol. II. Mem. II. 
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