jfleiiiorìst 
Sullo sviluppo di uua funzioue reale di variabile reale 
in serie di fuuzioui sferiche di prima specie 
Memoria di CARLO SEVERINI 
In una Nota : Sopra aìciuie proprielà comuni a più serie di funsioni di uso 
frequente nell Analisi, pubblicata recentemente negli atti del R. Istituto Veneto, (* (**) ) am- 
mettendo di tali serie la convergenza, ne ho dedotto alcune notevoli conseguenze, tra cui 
il teorema che la loro convergenza quasi uniforme è condizione necessaria e sufficiente , 
affinchè possano rappresentare la funzione data , supposta continua. Passando dopo ciò 
alla ricerca dei criteri di convergenza, mi propongo nella presente Nota, d’ indicarne alcu- 
ni, che mi sembrano notevoli , per le serie di funzioni sferiche di prima specie : di tali 
criteri il primo, come sarà in fine mostrato, si trova in particolare soddisfatto per funzioni 
continue, a variazione limitatata (ff. 
Il metodo, che sarà qui adottato, è applicabile anche ad altri casi, come mi propongo 
di far vedere in una prossima Nota. 
1. Sia f {x) una funzione reale, ad un valore, della variabile reale x, limitata, atta 
all’ integrazione nell’ intervallo (—1, -|- 1). 
Se con f, (x) indichiamo la funzione, definita per ogni valore reale di x, mediante le 
condizioni : 
/i (x) =f ( — 1) per m ^ — 1 
f{x)=f{x) „ -l<m<+l 
con u una seconda variabile reale, con k un parametro arbitrario, positivo ; per ogni va- 
lore non nullo di tale parametro, e per ogni valore finito di x, si può la: 
*+ cc / u—x I ^ 
F (x, k) = / f\ (u) e ^ ^ ' dii 
lA ^ / 
^ • — OO 
svolgere in serie di funzioni sferiche di prima specie ; 
(,) F {x, 11) = li (/<■) P (x), 
V— O 
(*) Adun. del io Gennaio 1909. 
(**) Cfr. E. W. Hobson ; On a General Convergence Theorem , and thè Theory of thè Representatwn etc. 
(Proceedings of thè London Mathematica! Society, Series 2, voi. 6, Part. 5); On thè Representatwn of a Fiinc- 
tion by a Series of Legendre ’s FuncHons (idem, Series 2, Voi. 7, Part. i). 
I risultati del Sig. Hobson, dei quali sono venuto a cognizione, quando avevo già comunicato all’ Acca- 
demia la presente Nota, comprendono quello, che qui viene stabilito, per le funzioni a variazione limitata. 
. Atti Acc., Serie V, Vol II. Meni. Vili, 
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