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Carlo Severini 
[Memoria Vili.] 
ove : 
2 
^ 
ed 
•+ I 
2v-f-I 
(V) 
(m)= / A (V-f«) P (a') (fx' 
I coefficienti Cv (^) sono funzioni continue di k, ed al tendere di ^ a zero si ha 
lim Cv (^) (o) = — ^ I f (^') P^\x')dx' (v = o, I, . . . . , oo). 
<t—0 
— I 
Per un valore fisso di ^ O o) la serie (1) converge in fine in egual grado in tutti 
i punti di un intervallo finito qualsivoglia. (*) 
2. Il risultato, che abbiamo richiamato nel § precedente ci servirà di base per la ri- 
cerca dei criteri di convergenza, ai quali in principio abbiamo accennato, relativi alle serie 
di funzioni sferiche di prima specie ; 
00 
( 2 ) - /i,v 
v=0 
Questi criteri otterremo, facendo in modo che la serie (1), in cui si riguardi x fisso, 
al decrescere di k, ammetta per limite la serie dei limiti (2). Le condizioni a tal' uopo ne- 
cessarie e sufficienti sono, per un teorema del Dim, le seguenti : 
a) che la serie (2) converga , 
b) che per ogni numero o, positivo, arbitrariamente piccolo, e per ogni numero, 
intero, positivo, comunque grande , m ' , si possano trovare due numeri lì ed m, dei quali 
il primo diverso da zero e positivo^ ed il secondo intero , maggiore di ni , in modo che 
per tutti i valori di k fra zero e ìì (lo zero escluso) il resto {k) della (1), calcolato 
a partire dal termine m° , risulti numericamente minore di a. 
Ciò posto poniamo : 
(V) 
Rn,r {x, k) = L Cv (k) P (X) , 
V— « 
Rn,r {x, O) = S /i^v (O) P^'^\x) , 
V— n 
(*) Cfr. la mia Nota : Sulla rappresentazione analitica delle funzioni reali discontinue di variàbile reale. 
Rendic. della R. Acc. di Torino 1899. 
