Sullo sviluppo di una funsione reale di variabile reale in serie ecc. 
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donde : 
fv) 
Rn,r {x,k) — Rn.r (X,0) = 2 [C, (^) - /, (o)] P' (x) , 
V—U 
e sostituendo al posto di Cv (k) ed /i,v (o) le loro espressioni ; 
^n,r {Xf k') Rn,r {X, O) — 
v—n-j-r 
2 v+i 
iti (x'^ku) — / (x')] 
(v) (v) 
P (r') dx'. (X), 
come subito si vede con alcune ovvie trasformazioni. 
Ammettiamo ora che per un valore di x , compreso fra — 1 e -(- 1 esista una co- 
stante positiva, finita M, di cui sia sempre minore, in valore assoluto, la somma ; 
V=K 
V 
V— O 
2 v+ I 
2 
('fi ('fi 
/ (x' -+- b) P \x') dx'. P (x), 
qualunque siano n ed h variabile nell’ intervallo ( — 2, -(-2). 
In tale ipotesi si può evidentemente determinare una quantità positiva a, abbastanza 
grande, perchè risulti, qualunque siano n, r e k {x s’intende fisso): 
( 4 ) 
P/i,r (^, b) — Rfì.r (Xf , — 
v=«-t-r 
V 2 V + 1 
y\(x'+ku)—/(x')] P^ \x') dx'. P^ \x) 
0 essendo un numero positiva, prefissato piccolo a piacere. 
Ammettiamo inoltre che, per il valore considerato di x, si possa assegnare un numero 
positivo, non nullo, h', siffatto che, quando è 1/?1 ^ //', si abbia, qualunque sia n: 
2 v-4-1 / (vi (vi 
— — / f/i (x' + /fi - f[,x') ] P \x') dx' . F Ux) 
Si ricava allora dalla (4), per ogni k ^ 
(5) I ^n.r {x, k) Rn,r (x,o) | <C 3® , 
qualunque siano n ed r. Da ciò segue facilmente che, nelle dette ipotesi, sono soddisfatte 
entrambe le condizioni contemplate nel teorema del Dini. 
Fissato infatti un valore lì di k minore di ed un valore n di «, abbastanza gran- 
a f 7 o 
