Sullo sviluppo di una funsioue reale di variabile reale in serie ecc. 
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ed esiste inoltre una quantità h, maggiore di sero, tale che, per | h | ^ h', risulti: 
= ^ ’ 
0 essendo un numero positivo, prefissato piccolo a piacere. In un tratto dell’inter- 
vallo ( — 1, -f- 1), che può anche essere V intervallo stesso, per tutti i punti del 
quale le quantità M ed h' esistano , e possano determinarsi in modo che abbiano 
rispettivamente un limite superiore finito ed un limite inferiore maggiore di sero, 
la serie (2) converge in egual grado, e ad essa tende in egual grado, al tendere 
di k a sero, la F (x, k). 
3. Alla medesima conclusione si arriva, se si ammette che in un punto, o in un tratto 
dell’intervallo ( — 1, -p 1), risulti, qualunque siano « ed /; ( | /z | ^2): 
«-I-I 
[/i (-F + /;) — / (x')] 
P(x) 
-i) (u) 
P{x) 
(n) («+i) 
P{x) P(x') 
dx' 
” +1 I fi jx' + h) — (%') P(x) P(x') P{x) P(x’) 
2 / h X — x' 
dx' 
< Mi {Mi costante). 
Riprendendo la (3) del § precedente, si trova infatti in questo caso: 
I 2M,^k I — ifl 
Rn,r {X, k)^Rn,r {x , O) ^ -~=^ I |«| « dtt , 
che evidentemente basta al nostro scopo. 
Abbiamo pertanto il teorema : 
B. Nelle ipotesi poste in principio (§ 1) per la f (x), la serie. 
( 2 ) 
y, I f (x’) p^''\x')dx'. P^''\x) 
è in un punto x dell’ intervallo ( — 1, -j- 1) convergente e rappresenta il limite, a 
cui tende, al tendere di k a sero, la: 
F {X, k) 
' I " 
se, qualunque siano n h ( | h | ^ 2), si ha: 
n -{- 1 
p-p I 
fi (x' + h) — f, {x') 
(n-Pi) (n) (n) («+i) 
P(x) Px') P(x) P{x') 
2 
— I 
X 
^ Mi (Mi costante). 
