6 
Carlo Severini 
[Memoria Vili.] 
In un tratto dell’ intervallo ( — 1, 1), che può anche coincidere coll’ inter- 
vallo stesso, per tutti i punti del quale esista la quantità Mi, e si possa determi- 
nare in modo che abbia un limite superiore finito, la serie (2) converge in egual 
grado, e ad essa tende in egual grado la F (x, k). 
4. Il teorema ^ del § 2 può, nel caso che si tratti di un punto o di un tratto interno 
all’ intervallo ( — 1, 1), porsi sotto altra forma, che giova indicare. 
Ricordiamo che, se B è una quantità positiva, diversa da zero, arbitrariamente scelta, 
per tutti i punti dell’ intervallo ( — 1+^, 1 — S) e per ogni n P> o, si può porre; 
il') 
1 
\ n r. sen 0 / f 
cos 
rj. (n, 6) I 
11 ' 
ove è X = cos 0, ed a {n, 0) rappresenta una funzione, il cui valore assoluto, nell’intervallo 
( — 1 — 5), e per ogni n o, h minore di una costante positiva, finita. 
Sostituendo nel secondo membro della (6), se ne deduce; 
e quindi ; 
(«+i) («) _ (n) I 
w-j-i -P(x) P\x') P{X) P{x ) ^ I ^{x^x'yU) 1 
^ X — X ^ I _ — ^,,1 I) 
{n+i) (n) __ (n) («+i) | 
n-f-i P(x) 
' P{x'Y P{X) P{x') 
c; 
^ {x,x',n) 
2 
X — x' 
X — x' 
ove P (x, X, n) rappresenta una funzione che è in valore assoluto minore di una costante 
positiva, finita per ogni n 'P> o q per ogni x ed x' compresi nell’ intervallo ( — 1 -t-8, 
1 — S). Z)i una costante positiva, finita, si mantiene pertanto minore il secondo membro 
della precedente disuguaglianza se, oltre alla condizione dianzi detta, si pone che x ed x' 
soddisfino all’ altra ; 
X — x' i ^ s' , 
e essendo una quantità positiva non nulla, arbitrariamente scelta. 
Dopo ciò è chiaro che possiamo senz’ altro enunciare il seguente teorema, che facil- 
mente si deduce dal teorema A. 
A'. Nelle ipotesi poste in principio (§ 1) per la f (x) la serie : 
( 2 ) 
00 
S 
^ f (x') P^''\x')dx'. P^''\x) 
è in un punto x interno all’ intervallo (— 1, -f- 1) convergente, e rappresenta il 
