Sullo sviluppo di una funzione reale di variabile reale in serie ecc. 
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limite, a cui tende, al tendere di k a sero, la 
F (X, k) = — ^ 
0 - 
fi («) « 
du . 
se esistono due numeri positivi, non nulli, s ed fra loro indipendenti, tali che si 
abbia, qualunque siano n ^<7 h ( | h | ^ 2) : 
«-f- 1 
2 
fi ('V', h) 
(«-I-I) (?2) (/I) («4-1) 
P(x) P{x') P(x) P(x') 
X — x' 
dx' 
^ M' {M' costante); 
e di più, per ogni h minore, in valore assoluto, di una quantità positiva h', ab- 
bastansa piccola: 
«-hi 
2 
j[/i + b) — t^ {x')'] 
d(«+>) p(n) d(”) 
^(x) -^(x') -^(y) ^ {xY 
X — x' 
dx' 
0 essendo positivo, arbitrariamente scelto. 
In un tratto interno (di’ intervallo ( — 1, -(- 1) per tutti i punti del quale le 
quantità M' , t, s' ed h' esistano, e possano determinarsi in modo che abbiano, la 
prima un limite superiore finito, le altre ciascuna un limite inferiore maggiore di 
sero, per ogni valore assegnato di o, la serie (2) converge in egual grado e ad 
essa tende in egual grado, al tendere di k a sero , la F (x, k). 
5. Conviene ora mettere in relazione la F (.r, k) colla funzione data f {x). 
Sostituendo u ad , si può scrivere ; 
I 
— j“CO 

fy (x -\- hi) e du . 
Se quindi G indica il limite superiore dei valori assoluti di / (x), e c è una quantità 
positiva, tale da avere : 
2G 
0 essendo il solito numero positivo, piccolo a piacere , si otterrà a maggior ragione, qua- 
lunque siano X e k (/fe )> 0) : 
F {x, k) 
r Fr 
U 
fy (x -h ku) e 
da 
0 
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