Sullo sviluppo di una funzione reale di due variabili reali in serie ecc. 
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discontinuità di prima specie, risulta infine ; 
lim F {x, k) --- 
fi (X + O) + fi (X -o) (*) 
r 
6. Da quanto abbiamo detto nei §§ precedenti si traggono alcune conseguenze im- 
portanti. 
Posto che in ogni punto di un tratto (xi, xa) dell’intervallo ( — 1, siano soddi- 
sfatte le condizioni di uno dei teoremi A, A', B, (**) sotto le quali la serie : 
converge, e rappresenta il limite al quale tende, al tendere di ^ a zero, la F (x, ^), risulta 
in tutti i punti di quel tratto : 
ove Z)a; indica, come sopra, l’oscillazione della f (xj nel punto x che si considera, e però 
la serie ( 2 ) rappresenta in (xi , Xa) la f (x), fatta al più eccezione per i punti di un in- 
sieme di misura nulla ; e prefissati due numeri positivi a e A., fra loro indipendenti , pic- 
coli a piacere, si potranno escludere da (xi, xa) dei tratti in numero finito, la cui somma 
sia minore di b, in modo che nelle parti rimanenti si abbia : 
Dopo ciò, convenendo per brevità di dire che le condizioni di uno dei suddetti teo- 
remi sono uniformemente soddisfatte nel tratto (xi, xa), quando le quantità, di cui si parla 
in dette condizioni, possono essere fissate in modo che valgano per tutti i punti di (xi, xa), 
è chiaro che siamo ora in grado di enunciare il seguente teorema : 
C. Sia f (x) una fnnsione reale^ ad un valore, della variabile reale x, limi- 
tata, atta all’ integrasione nell' intervallo ( — /, -j- /). 
Se per un punto x di questo sono sodisfatte le condisioni di uno dei teoremi 
A, B, A', la serie : 
Mat. di Palermo, T. XIX, (1900). 
(**) 11 tratto non può avere come estremi nessuno dei punti — i, q-i quando si tratti del teorema A'. 
I 
(*) Cfr. la mia nota: Sulla rappresentavi oue delle juniponi reali di variabili reali ecc.; Rendic. del Gir. 
Atti Acc., Serie V, Vol. II. Meni. Vili. 
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