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Cario Severini 
[Memoria Vili.] 
converge, e soddisfa alla disuguagliansa : 
ove Dsc indica V oscillasione della f (x) nel punto x, che si considera ; e se in que- 
sto la f (x) non ha una discontinuità di 2^ specie, risulta inoltre : 
In un tratto (xi, X2), deirintervallo ( — 1, -pi) tutti i punti del quale siano 
soddisfatte le coìidisioni di mio di quei teoremi, la serie {2) rappresenta la f (x), 
fatta al più eccesione per i punti di un insieme di misura nulla ; e prefissati due 
numeri q e \ positivi, piccoli a piacere, fra loro indipendenti, si pub escludere da 
(xi, X2), dei tratti in minierò finito, la cui somma sia minore di X, in modo che 
nelle parti rimanenti si abbia : 
Se in particolare la f (x) è in (xi , X 2 ) , continua , e le condisioni sopra dette 
sono ivi uniformemente soddisfatte, la (2) converge alla f (x) in egual grado. 
7. Vogliamo ora mostrare che la prima condizione del teorema A è uniformemente 
soddisfatta per tutti i punti di un intervallo ( — 1— §), interno airintervallo ( — 
se fra — 1 e -)- 1 la f {x) è a variazione limitata. 
In tale ipotesi possiamo scrivere ; 
ove cp (x) e (x) sono funzioni positive, limitate, non decrescenti fra — 1 e -j- 1 , e 
quindi per ogni h fìsso {\h\ ^ 2) ; 
/, (X + o) + f^ (x — o) 
f (V) = t? (x') - 6 {x') , 
(9) 
(x' + h) = (O^ ix' + h) — àj (x' -4- h ) , 
ove con tpi (x') e 4*1 intendiamo due funzioni dedotte rispettivamente da cp (x') e (x') 
come la fi (x) da f (x), (cfr. § 1). 
Posto per comodità di scrittura : 
= S {X, x\ n). 
2 X — x' 
(*) Cfr. la mìa nota negli atti del R. Ist. Ven. citata in principio. 
