Stillo sviluppo di una funzione reale di variabile reale in serie ecc. 
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si ottiene ; 
( 10 )- 
«+i 
P^x) P{x') - P{X)P{X') 
— I 
r ' r ' 
dx' — I cpi (x' + /j) S {x,x\ n) dx' ~ j òj (x' -(- /j) S(v,x',n) dx'. 
Mostriamo che ciascuno degli integrali, che figurano nel secondo membro della prece- 
dente eguaglianza, è in valore assoluto minore di una costante positiva, finita, qualunque 
siano n ed h (|/;| ^ 2) e per ogni x appartenente all’ intervallo (• — 1 -j- 3, 1 — 5), 
ove 3 è una quantità positiva non nulla, prefissata piccola a piacere. 
Basterà considerare il primo dei suddetti integrali, il medesimo ragionamento potendosi 
identicamente ripetere per 1’ altro. 
Posto : 
P = S-3', 
cominciamo col considerare l’ integrale : 
' tfi {x' -f- h) S {x, X,' n) dx'. 
Applicando il secondo teorema della media otteniamo : 
r-i+o' 
(ri) ”) = fi (- 
. —I 
r -i+ò" r—!+ò' 
/; + o) I S (x, x', II) dx' + <0^ ( — I -j- o' h — o) I S(x, x',n) dx ' , 
7-1 J -i+ò" 
ove 3" è una quantità soggetta alla condizione o ^ 3" ^ 3' , dipendente dai valori di x, 
h ed 11 . 
Anche qui, dei due integrali che figurano nel secondo membro di questa eguaglianza, 
basterà che ne consideriamo uno , ad es. il primo. Sostituendo in questo , al posto di 
S (x, x\ n), la sua espressione ed applicando nuovamente il secondo teorema della media, 
posto — l-{-3^x^l — 3^ abbiamo : 
I +-0" 
(I2) 
S {x, x', n) dx' — 
(11+ 1) 
P(x) 
(«+!) j'^i+l"' („) r-iA-Z'" 
Av) / («) P(x) I 
P{x') dx' — — 7 Y I P{x') dx' ■ 
X + I 
•— I-fÒ" 
(«) 
(«) 
P{x) 
• — 1+3" 
(n+i) 
+ x+i— 3" \P (P) dx' - \P (x') dx' > , 
J _,+3"' J -1+5"' ) 
ove 0 ^ 3"' < 3". 
