Sullo sviluppo di una fuyisione reale di variabile reale in serie ecc. 
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positiva finita, di cui, qualunque siano n qA h { \ h \ ^ 2), h minore in valore assoluto 
ciascuno dei due integrali ; 
[JL pi—V 
[x' -^h) S (X, x', u) dx' ; / (pj (x' S (x, x', n) dx' . 
-i+ò' J x+ix 
Restano i due integrali: 
’X 
cpi (x' h) S {x, x', n) dx ' , / pj {x' + h) S (x, x', >i) dx' . 
X— JJ. J X 
dei quali ci limiteremo a considerare il primo, lo stesso ragionamento potendosi analoga- 
mente ripetere per 1’ altro. 
Applicando il secondo teorema della media^ otteniamo : 
rx fx 
(14) / ?! + b) S (X, x', n) dx' - c'r — 'p -{ o) I S (x, x', n) dx' w^{x h —o) I S {x, x', u) dx' . 
-p. J x—Y- J x—y' 
ove [i.' è una quantità, soggetta alla condizione 0 ^ [x' ^ [i. 
Ora si può dimostrare che l’ integrale : 
r~' 
I S (X, x', n) dx' 
J x—Y 
qualunque sia [J-, soddisfacente alla condizione o , qualunque sia n e per ogni x 
deir intervallo ( — 1 + 1 — ^) è minore di una costante positiva, finita. Quando avremo, 
ciò stabilito^ risulterà, a causa della (14), che è, in valore assoluto, minore di una co- 
stante positiva , finita, per ogni n ed h { \ h \ ^ 2) e per ogni x di ( — 1 -|- ò, 1 — §) 
r integrale : 
r 
I fflj (x' -h h) S (x, x', n) dx' , 
J x—Y 
ed analogamente anche 1’ altro : 
'x+Y 
!p, (x' + h) S {x, x', n) dx' ; 
con che resterà senz’ altro stabilito quanto abbiamo asserito al principio di q uesto pa- 
ragrafo. 
