Sullo sviluppo di una funzione reale di variabile reale in serie ecc. 
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la prima è minore, in valore assoluto, come facilmente si vede, di una costante positiva, 
finita per ogni //, 6, 0"; e riguardo alla seconda si ha che la serie S ^ ) (9 + 6) 
V ~ I V 
converge in egual grado per tutti i valori di fi' -]- 6" compresi in un intervallo interno a (o, 2%), 
il che si verifica se x appartiene a (— 1 -f-^, 1 — essendo [J- <C — • 
Il medesimo ragionamento si può ripetere per la rimanente parte della (16), e resta 
pertanto pienamente stabilito quanto abbiamo detto al principio di questo paragrafo , che 
cioè la prima condizione del teorema A è uniformemente soddisfatta per tutti i punti 
di un intervallo ( — 1 -h 1 — interno all’ intervallo ( — 1 , -j- 1), se fra — 1 e -|- 1 
la f {x) è a variazione limitata. 
8. Ferma restando l’ipotesi che la /(x) sia a variazione limitata fra — 1 e -|- 1 , 
vogliamo mostrare che la seconda condizione del teorema A è del pari uniformemente 
soddisfatta per tutti i punti di un intervallo (xi , X 2 ) , se in un intervallo (xi — s , X 2 
che comprende questo, ed è interno a ( — 1 , -)- 1) , la / (x) è anche continua. 
In quanto è stato detto nel § prec. noi possiamo intendere che la quantità (i ivi con- 
siderata sia minore di £ , e soddisfi alla condizione ; 
— 1 ^ ^ ' <C -J- ^ ^ 1 + 
Ciò posto, intendendo , come sempre supporremo in seguito , che x rappresenti un 
punto qualsivoglia fra x^ ed X 2 , si abbia, in forza del secondo teorema della media : 
/‘x—y-o' rx 
tpj (x) S (x, x', n) àx' — {x — li) / 5 (x, x', n) dx' + (x) / S (x, x\ n) dx' . 
X — y. J x—y. J X — (A,)' 
Da questa eguaglianza e dalla (14) , tenendo in esse conto che la cpi (x) è ora con- 
tinua in (xi — £, X2-|-£), si deduce, per ogni li minore, in valore assoluto, di 
;^x 
©1 {x' -f h) — ©, (x) 
X— ()- 
S (x, x', n) dx'~ I ©j (x — ix' -f- h) — ©^ (x — |x) 
I x—yo 
f 5 (x, x', n) dx' -\- 
X— !A 
+ 
(x — 11' -!- /;) — tp, (x) 
*x — y.' 
S (x, x' n) dx' + 
-F 
©, (x + h) - - ©1 (x) 
S (x, x', «) dx' . 
