Sullo sviluppo di una funsione reale di variabile reale in serie ecc. 
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Per ultimo osserviamo che i due integrali ; 
(19) 
— I-f-O 
tpi (x' 4 - h) — ©1 {x' ) 
/” I 
S (X, x', n) dx' , 
(x' + /)) — (x') 
S (x, x\ n) dx' 
1 — 6 ' 
al crescere di n, tendono uniformemente a zero (cfr. § prec.) , per tutti i valori dì h q 
per tutti i valori di x compresi fra x\ ed X 2 . Si può quindi determinare un valore n' 
di n, per modo che quando n ^ n essi risultino in valore assoluto minori di g. Per va- 
lori di ^ < n' è applicabile agli integrali (19) il ragionamento dianzi fatto per gl’ integrali 
(17) e (18). 
Tutto ciò che è stato sin qui detto si può ripetere per l’integrale : 
'i'i (x’ + ^) — {x') 
S (x, x ' , n) dx' 
sicché, concludendo possiamo ora asserire, che è possibile fissare la quantità h' in modo 
che per \h\^h' si abbia, qualunque sia n e per ogni x di (xi , X 2 ) : 
hi 
1 
/ (x' -i-h) — f (x') 
S (x, x' , n) dx' 
ove 0 è un numero positivo, prefissato piccolo ad arbitrio ; come volevamo dimostrare. 
9. Quanto abbiamo detto nei due precedenti §§ conduce al seguente teorema, che è 
un caso particolare del teorema C. 
Sia f (x) una funsione reale^ ad un valore^ della variabile reale x, avente un 
limite superiore finito per i suoi valori assoluti ed a variasione limitata nell’in- 
tervallo (— 1,-}- 1). Se fra xi ed X 2 ( — 1 <7 xi ■< X 2 1) è anche continua, ad 
essa converge in egual grado la serie ; 
V 2^1 I ^ p^''\x') dx'. P^''\x) 
I 
in tutti i punti dell’ intervallo (xi — e) ove z è una quantità positiva, che 
può essere scelta piccola a piacere. 
Catania, 29 Aprile 
