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Sugl’ integrali delle equazioni della Dinamica 
Da quelle proprietà delle equazioni simultanee a derivate parziali 
di primo ordine, le quali si riferiscono alla possibilità di soluzioni co- 
muni e al numero di queste, si trae, quando si abbia riguardo alla for- 
ma delle equazioni (4), (5), (6), (7), che problemi dinamici differenti 
non possono ammettere più di 2 g. — 2 integrali primi comuni distinti. 
Cerchiamo le condizioni necessarie e sufficienti, affinchè si abbiano 
2g — 2 integrali primi comuni indipendenti dal tempo. Dalla forma 
delle equazioni precedenti si vede che, per ottenere queste condizioni, 
conviene esprimere che i coefficienti delle derivate parziali di F nel- 
le (7'), (7") siano identicamente nulli, e che i coefficienti delle derivate 
parziali della stessa F nella (5), dove — = 0, e nella (7) siano prò- 
CtZ 
porzionali. Si avrà adunque : 
d\ dk ì dJc fJL _ L eZZ, dl 2 dZ (U ._ 1 
dt dt ’ ' ‘ dt dt dt dt 
2/ 
K 
2 *' 
k i 
2s' 
k 
g — i AdJ-BikJ A(h)-B(1c, 
A(l,x _ t ) — B(k ft _ i ; 
S-I 
Di qui si deduce dapprima : 
L 
k — — le — 
1 2i" 2 2i' ’ 
kg. - 1 — 
( 8 ) 
Le quantità Z 15 Z 2 , ... Z w ,_ 1 non potranno dipendere esplicitamente 
dal tempo, e per determinare l i si ha 1’ unica equazione : 
dii i dii i dii . 0 7 
+ w; q ' di, 7 4 “ ~ 2h ' 
cioè Z u Z 2 , ... l [i _ i sono funzioni di q n q 2ì ... gy , q\ ... q ' ^ , omo- 
genee e di secondo grado rispetto a q\, q \ , ... q’ ^ onde si può porre: 
