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G. Marletta 
[Memoria IL] 
§ 1 . 
1. — L’ipotesi per la quale della superfìcie focale del complesso F (d’ ordine uno) 
faccia parte una curva, fu studiata in Mar. cap. IV. 
Supponiamo ora, primieramente, che la superfìcie focale cp di F sia irriducibile, onde 
essa sarà incontrata in due punti da ogni raggio di F. Di questi due punti uno sarà da 
considerare come due fochi. La superficie © è certamente una rigata cubica normale. 
Sia infatti p la rigata delle rette di F poste in uno spazio generico S, e indichiamone 
con 11 il grado e con k la multiplicità nella curva Scp. Osserviamo che sopra un raggio ge- 
nerico di F non esiste alcun foco fuori di cp, onde la rigata p è tale che un piano condotto 
per una generatrice generica g di essa, seca ulteriormente questa medesima lungo una curva 
d’ ordine ii—l dotata di due punti {k — 1) — pii nei due punti ^cp. Inoltre questa curva ha 
con g in comune soltanto il punto di contatto del piano considerato con p ; quindi avrem.o 
n — 1—2 {k — l)-fil, cioè ii=2k. Ne segue che per un punto qualunque P di o non passa 
alcun’ altra corda di Scp , onde questa è una cubica gobba, ovvero nell’ ipotesi contraria, 
ciascuna delle altre corde della curva S'f uscenti da P, incontrando p in 2k^l—n-fil punti, 
deve appartenere a questa rigata, la quale non potrebbe essere che una quadrica. Ma in 
tal caso se g^ è un’ altra retta generica di F (non posta in S) , sulla rigata quadrica p , 
delle rette di questo appartenenti allo spazio gg\ , dovrebbe giacere una determinata retta 
direttrice di p (^), la quale essendo incidente a g , incontrerebbe pure ^i. Onde tutte le 
rette del complesso si appoggerebbero a p , e ciò è assurdo. Dunque la superfìcie cp e 
necessariamente una rigata cubica normale , e le rette del complesso poste nel piano di 
una qualunque conica di essa, formano un fascio il cui centro appartiene a questa conica C^). 
Viceversa è chiaro che se mediante qualche procedimento geometrico , sopra ogni 
conica c generica di una rigata cubica normale cp, rimane individuato un punto P, le rette 
passanti per questo punto e poste nel piano di c , generano al variare della conica di cp 
un complesso d’ ordine uno , tale che sopra una sua retta qualunque , due dei tre fochi 
coincidono. 
Una conica e un punto come c e P saranno detti associati. 
2. Per un punto qualunque P di cp, passino v coniche di questa a P associate ; dun- 
que le rette del complesso uscenti da P e aventi due fochi in questo punto, formano v 
fasci. Ma per P passeranno altre oo'^ rette di F, ciascuna delle quali ha i due fochi coin- 
cidenti posti in un punto distinto da P. 
Fissata una conica generica c di cp, le coniche di questa aventi in c i punti asso- 
ciati, son tali che per un punto qualunque P di cp ne passano v-|-l. E siccome, in gene- 
rale, r unica conica degenere di cp passante per P, ha il punto associato fuori della diret- 
trice rettilinea di cp, cosi concludiamo (p. es. pensando alla rappresentazione piana di que- 
sta superfìcie) che il luogo dei fochi doppi delle oo^ rette di F uscenti da P, è una curva 
d’ ordine 2(v-j-l) avente il punto P come v-plo. Ne segue che le rette di F aventi in P 
il foco semplice, formano un cono d’ ordine v-\-2. 
Concludendo possiamo dire che tutte le cx^’^ rette del complesso uscenti da P, forma- 
no un cono (riducibile) d’ ordine k=2v-\-2. 
(^) Perchè avrebbe con più di due punti comuni. 
(-) Ciò, del resto, d’ accordo con quanto si disse in Mar. n“ 39. 
