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G. Marletta 
[Memoria II. [ 
4. — Supponiamo ora che la superficie focale del complesso F si spezzi in due su- 
perficie irriducibili (p e cpi ; tina di queste sarà certamente un piano. 
Sia, infatti, p la rigata delle rette di r poste in uno spazio generico ed n, k e 
k\ siano rispettivamente il grado di p e le multiplicità delle curve Scp e per questa 
rigata. Siccome in un raggio generico del complesso , non esiste alcun foco fuori di cp e 
cpi , un piano to di S condotto per una generatrice generica g di p, secherà ulteriormente 
questa in una curva d’ordine n — 1 coi puntile? e rispettivamente {k — 1) — pio 
e iki — 1) — pio. Inoltre la detta curva incontrerà g soltanto nel punto di contatto del piano 
co con p. Avremo dunque 
n — i — {li — i) + (/; j — I) -f I , cioè n = k -j- k^. 
Ne segue che per un punto qualunque P di o non passa alcun’ altra retta incidente 
le curve Sep e Sep^ , onde una di queste è certamente una retta , per quanto è noto circa 
le congruenze d’ordine uno ovvero, nell’ ipotesi contraria, ciascuna delle altre rette siffatte 
uscenti da P, incontrando p in k-\-k ^^-\-\=n punti, dovrebbe appartenere a questa 
rigata, la quale sarebbe quindi una quadrica. Ma in tal caso se gì è un’altra retta generi- 
ca di r (non posta in S), sulla rigata quadrica pi delle rette di questo appartenenti allo spazio 
gg^, dovrebbe giacere una determinata retta direttrice di p ; la quale incontrando g, dovrebbe 
pure incontrare ^i. Onde tutte le rette del complesso si appoggerebbero a p , e ciò è as- 
surdo. Concludiamo che una delle due curve Tep e Scpi è certamente una retta, e quindi 
una delle superficie cp e (pj è un piano (^). 
Se, p. es., tp è un piano, allora in uno spazio generico S passante per essa, le rette 
di r generano una congruenza d’ ordine t^no , avente o due linee singolari , una in cp e 
una in cpi , ovvero una sola linea singolare che sarà una retta , sulla quale ogni raggio 
della congruenza avrà i due fochi coincidenti. Questa retta dovrà appartenere a cp^ ; l’ ipo- 
tesi , poi , che sopra un raggio qualunque di F i tre fochi coincidano in un sol punto , 
verrà studiata nel § seguente. 
5. — Consideriamo la prima ipotesi , e precisamente supponiamo che la congruenza- 
delie rette di F appartenenti allo spazio S , abbia due linee singolari distinte , delle quaù 
la rettilinea appartenga a cpi. 
Allora ogni spazio S passante per cp , seca epp in una (sola) retta, onde questa super- 
ficie sarà una rigata razionale. In cp avremo una curva d’ordine [jl con un punto (ir — 1) 
— pio posto su questa retta di cp^. Questa curva e la generatrice di cpi ora detta, saranno 
le direttrici della congruenza formata dalle rette di F poste in 2. Le curve di cp sifi'atte 
formeranno un inviluppo razionale n di classe e saranno in una certa corrispondenza 
(1,/) con le generatrici della rigata cpi. 
Se le curve di '( hanno il punto, (ir — 1) — pio costantemente in un certo punto 4/, al- 
lora cpj è un cono di vertice M con 7n^ — l generatrici nel piano cp, se mi è l’ordine di 91. 
Per un punto generico P di <p passano j curve di 7, a ciascuna delle quali corrispon- 
dono l generatrici di cpi ; si hanno cosi j l generatrici di cpi le quali proiettate da P dànno 
altrettanti fasci di raggi di r , i quali sono formati da tutte le rette di questo complesso 
uscenti da P e poste fuori di 9: Inoltre osserviamo che se ci è un piano generico posto 
in uno stesso spazio con 9, allora in esso giacciono ir rette di F, incidenti la generatrice 
(fi Tutto ciò d’accordo con quanto si disse in Mar. n" 72. 
