Sopra i complessi di rette d’ ordine imo dell’ S, 
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Le ulteriori intersezioni di S con V'k e Vt:' , sono due rigate (entrambe di grado 
le quali hanno gli stessi piani tangenti in ogni punto della comune direttrice Ij — pia. Se, 
poi , in particolare il è lo spazio individuato da cp e dal piano tangente a cpj lungo una 
delle — 1 generatrici che essa ha in f, l’ipersuperficie Vtì, per es. , è secata ulterior- 
mente da 2 in una rigata composta dal fascio (A, f) contato — volte, posto A=fr . , e 
da un altro fascio il cui piano passa per la retta — i:. 
Da quanto abbiamo detto deduciamo : 
X = (v -f ip- — (v + — Ipi I — (?«i — I) — ('/p'J -P /j) = ( 2 v — mi) 
15. — Supponiamo, p. es. , che le curve dell’inviluppo y siano secate sul cono cp^ , 
dalle ipersuperficie d’ ordine |i di un fascio , tutte aventi nel vertice M di <pi un punto 
([J-— 1 ) — pio; e che queste ipersuperficie siano riferite omograficamente alle rette del fa- 
scio {M, «p). 
Si ha: j—l=l, e quindi 1^=1 e v=r[j. 7 //j. 
Dunque (n'’ 14) avremo ; x=2\i.m^ — m\. 
La superficie d’ordine |jl^ con M ([j. — 1)’“^ — pio , base del fascio , seca il cono «pi in 
— — l)hn\=2\mii — m^ punti distinti da M, per ciascuno dei quali passa una gene- 
ratrice di cpi posta interamente sopra una determinata ipersuperficie del fascio. Per ciascu- 
na di queste generatrici passa un piano parassita semplice per il complesso F. Ciò d’ ac- 
cordo col valore di x poco sopra trovato (®). 
16. — Sia ora <pi una rigata d’ordine m^, avente in <p una curva razionale C d’or- 
dine mi — 1 come direttrice semplice. 
Fissata una retta r del piano <p, si stabilisca una corrispondenza (/, /) fra le curve 
di un inviluppo p d’indice 7 di «p, e i punti di r; queste curve, inoltre, incontrino in un 
sol punto le generatrici di 'f j. Allora, posto h—jl, uno spazio generico S passante per cp, 
seca !pi ulteriormente in una generatrice g i cui punti sono in corrispondenza (/, /J coi 
punti di r, e quindi coi piani di S passanti per g. Le rette che appartengono simultanea- 
mente ad un punto di ^ e ad uno degli h piani a questo corrispondenti formano una 
congruenza che, al variare di S, genera un complesso F d’ ordine uno, tale che su ogni 
suo raggio due fochi sono in uno stesso punto di <pi. 
Ripetendo qui considerazioni analoghe a quelle fatte nel n° 14, ed osservando che per 
ipotesi la rigata cp^ non ha alcuna generatrice in cp, si ha : 
X = ( 2 v — m,) /, -f- ()Kj — 1 ) 1^. 
Al medesimo risultato possiamo venire ragionando nel seguente modo. 
Se le curve di y hanno a punti fissi (necessariamente semplici) , due qualunque di 
esse si secano in 
— (v — If — a — {rn,^—l)=2'i — ni \ — 0 punti variabili. Ne segue che in y esisteranno (®). 
(*) Se le ipersuperficie del fascio e le rette del fascio ( W, tp) sono in corrispondenza (i, /) , si lia 
Ifzzl e — Wi)L d’accordo ciò col fatto che ad ognuna di quelle 2\>.m.^ — generatrici, corrispon- 
dono ì rette di (M, et). 
(®) Circa il numero delle curve di un sistema algebrico irriducibile 00 * dotate di punto doppio, sistema 
esistente sopra una superficie qualunque, vedi un teorema di Severi dimostrato da R. Torelli nella Nota : 
« Sui sistemi algebrici di curve appartenenti ad una superficie algebrica ». Atti della R. Acc. delle Scienze di 
Torino, voi. XLII (1906). Nel nostro caso, volendo, potevamo servirci soltanto della rappresentazione piana 
di «Pi. 
Atti Acc., Serie V, Vol, III. Mem. II. 
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