Sopra i complessi di rette d’ ordine uno dell' 
20. — Sia f una curva d’ ordine posta in un piano ir (“). Allora in ogni spazio 
passante per tt, le rette del complesso T formeranno una congruenza d’ ordine uno, tale 
che su ogni raggio i due fochi coincidono ; dunque questa congruenza sarà una stella col 
centro in f, visto che f per ipotesi non è una retta. Ne segue che fra i punti di questa 
curva e gli spazi passanti per ti, esiste una corrispondenza (/, /) ; onde / è razionale. 
Viceversa è chiaro che dando una siffatta corrispondenza, le rette che simultaneamen- 
te appartengono ad un punto di f e ad uno degli / spazi a questo corrispondenti , gene- 
rano un complesso d’ ordine uno , tale che su ogni suo raggio i tre fochi coincidono in 
un punto della curva f. 
Le rette di F uscenti da un punto generico di /, formano / stelle (ordinarie); dunque 
se P è uno dei [j. punti in cui uno spazio generico seca la curva/, in questo spaziò avre- 
mo l fasci di raggi di F tutti col centro in P. Ne segue che il complesso è di classe 
n = fi/. 
Una retta r di t: incontra f in |jl punti ; a ciascuno di questi corrispondono l spazi 
passanti per in ognuno dei quali r è raggio della congruenza (stellare) che le rette di 
F ivi formano. Dunque r è da contare ji/ volte come retta del complesso ; cioè tì è da ri- 
tenere come piano parassita \il — pio. Che, poi. non esistono piani parassiti diversi da Tt, è 
evidente. 
21. — Supponiamo ora che il luogo dei fochi (tripli) dei raggi di F, sia una superficie 
(p. Questa deve essere necessariamente un piano. 
Osserviamo, infatti, che sopra un raggio generico di P non esiste alcun foco fuori di 
(p, onde indicando al solito con n il grado della rigata p delle rette del complesso poste in 
uno spazio qualunque II, e con k la multiplicità di questa nella curva H'p, p è tale che un 
piano condotto per una generatrice generica g di essa, la seca ulteriormente in una curva 
d’ ordine n — 1 dotata di un punto (^— /) — pio nel punto ^cp ; dunque sarà: [k — l)-\-l=n — 1, 
cioè k — n — 1. Ne segue, primieramente^ che la curva Hcp è certamente piana. Infatti se 
fosse gobba, le corde di essa uscenti da un punto qualunque di apparterrebbero a p, la 
quale dovrebbe essere una quadrica, e ciò si esclude con un ragionamento analogo a quelli 
fatti nei n.‘ 1 e 4. Dunque 'f è una superficie dello spazio ordinario ; anzi è precisamente 
un piano, perchè nell’ ipotesi contraria, sopra ogni raggio di P posto nello spazio di cp, esi- 
sterebbe almeno un punto diverso del foco triplo, e foco anch’ esso, e ciò è assurdo. 
21. — Sia 's un piano, e P un complesso d’ordine uno., tale che su ogni suo raggio 
i tre fochi vengano a coincidere in un punto di esso. 
In uno spazio genericamente condotto per cp, le rette di P non potendo formare una 
stella (perchè in tal caso il luogo del foco triplo di una retta generica di P sarebbe una- 
curva di cp), formeranno una congruenza dotata di una retta come unica linea singolare. 
Dunque in cp abbiamo un inviluppo (razionale) \ di classe /, le cui rette sono in corrispon-j 
denza (/, 1) cogli spazi 4C passanti per f. Inoltre osserviamo che le rette di P poste in 
uno spazio le quali quindi si appoggiano alla retta 5 di y omologa di queste, son tal 
che quelle uscenti da uno stesso punto (di 5 ), formano un certo numero /i di fasci in pià- 
! (*T) Le considerazioni che seguono valgono pure per [>.—1, e - tale che oltre 'di passare per /, in uno 
spazio generico passante per esso, le rette di P formino una stella col centro in f. È facile però vedere, che 
il complesso cosi ottenuto non differisce d^ quello del n. 19,. supponendo che il cono d’ordine / corrispon- 
dente ad un punto ^nerico di f, degeneri negli 1 spazi di un gruppo di una assegnata nel fascio (~), ,e 
COI ‘suoi gruppi in corrispondenza biunivoca coi "punti di /. ' ' 
