Memoria IT 
M. DE FRANGHIS 
Sulle varietà algebriche ad n dimensioni trasformabili razionalmente 
In varietà p<n dimensioni, aventi il genere -dimensionale 
maggiore di p. 
1. In una mia Nota del 1905, (* (**) ) rilevai come i’ esistenza, sopra una superfìcie alge- 
brica (e, si può anche dire, più in generale, sopra una varietà algebrica ad n > 1 dimen- 
sioni), di due integrali di differenziali totali di prima specie linearmente indipendenti, ma 
funzioni 1’ uno dell’ altro, tragga seco 1’ esistenza, sulla superficie (o su quella varietà) , di 
un fascio irrazionale, almeno di genere due, di curve (o di varietà ad ;z — 1 dimensioni) ; 
di questa proprietà mi ero anzi implicitamente servito in una precedente Nota riguardante 
i piani doppi. 
In sostanza, il teorema dimostrato in quella Nota può mettersi sotto questa forma ge- 
nerale ; 
una varielà algebrica ad n > 1 dimensioni possiede due integrali di dif- 
ferenziali totali linearmente indipendenti, ma V uno funzione dell' altro, allora è 
trasformabile razionalmente (in un sol senso, s' intende) in una curva algebrica sulla 
quale a quei due integrali corrispondano due integrali abeliani. 
Tale risultato è estensibile : 
Se una varietà algebrica V„, ad n )> p dimensioni, possiede p -[- 1 integrali 
p — dimensionali tedi che i rapporti dei differenziali che erdrano in p di essi, 
rispetto al differetiziale dell’ integrale rimanente , siano funzioni finite indipendenti, 
allora la \ „ può farsi in corrispondenza semplicemente razionale con una varietà 
algebrica a p dùnensioni , sulla quale p -j- 1 dati integrali di V„ corrispondono 
p -)- 1 integrali p — pii {di funzioni razionali). 
(*) Sulle superficie algebriche le quali contengono un fascio irrazionale di curve (Rend. del Circolo Mate- 
matico di Palermo, t. XX, 1905 pp. 49-54). Vedasi anche Castelnuovo ; Sulle superficie aventi il genere 
aritmetico negativo (Ibid. pp, 55-60), Enriques; Sulle superficie algebriche che ammettono un gruppo continuo 
di trasformazioni birazionali in se stesse (Ibidem, pp. 61-72). 
(**) 1 piani doppi dotati di due 0 piiì differenziali totali di prima specie (Rend. della R. Acc, dei Lincei, t. 
XIII5, r® sem. 1904). 
Atti Acc., Serie V, Vol. III. Metn, IV. r 
