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M. De Franchis 
[Memoria IV.] 
Sia F (x^, Xì, Xn+i) = O r equazione della V„, supposta (come è lecito) immersa 
in un S,;+i (a:^, X 2 , a «-pi), e siano-. 
A “ Da,- i dX{ dx; dx; 
ly l-l- Ip 'i l2-- 
Al = Pi A 
A 2 — p2 A 
A/; — pp A 
\ p -\- ì elementi differenziali dati, ove le pi, p2, p/, e le a,^ denotano funzioni 
razionali di , x-z,..., ed h h ... ip denota una conibinazione di p tra i numeri 
1, 2 ,..., n. È da notare però che l’ordine nel quale si seguono /i , ip non è indif- 
ferente; uno scambio di due di questi indici produce un cangiamento di segno nel differen- 
.ziale dx'i^ dxi.^... dxip ; conviene adunque per definizione, cambiare anche il segno alla corri- 
spondente funzione coefficiente aq L^... ip, quando vi si scambino due indici (*). I sistemi di 
funzioni aq ò... ip e p., aq t^...ip soddisfano alle condisiont d’ integrabilità Poincaré. (**) 
Si ha dunque su F„, cioè tenendo presente la relazione F (x, ,X2,..., Xw-pi) = O, 
3a 
h H- 'p-l-l 
ciXi 
'j 
+ (- ir 
3a. 
H h-- ^p+i fi I 
3x,-_ ' 
da 
t;.. lp+^ q /o 
dx: 
l-ì 
+ . 
^^Ò'i Ìo...Ìp 
=0, 
qualunque siano gl’indici /i , iz, ip, /p+i (distinti) scelti tra i numeri 1, n. Queste 
relazioni devono essere pure verificate ponendo, in luogo delle a, le a moltiplicate per una 
qualunque delle funzioni p, , P 2 ,..., Pp. Se ne deducono, per tutti i valori interi di s compresi 
tra 1 e p, le uguaglianze (valide su F,Q 
'hh-'P+'i d>x 
\ + ( — 1 )'" i-i h- ’i>-f 1 h 3 r • 
vp.- 
dx: h h ^x,- 
+ 
“h • • ■ ■ + ( l)'"'^qò-- 
3p. 
dX; 
= 0 . 
l p+1 
La matrice 
3pi 
3Pi 
3Pi 
dx\ 
dx -2 
dXn 
dpp 
3pp 
3pp 
3xj 
3x., 
3x„ 
ha la carattestitica p, perchè le p sono, per ipotesi, indipendenti. Le ultime relazioni 
C*) Vedasi p. e. Picard et Simari: Théorie des fonctions aìgébriques de deu.x variables indépendantes , t. I 
Chap. I. ' 
Q’') Vedasi, per le citazioni relative, il predetto trattato di Picard e Simart ovvero la mia Nota Sulla 
riduzione degl’ integrali estesi a varietà. (Rend. del Gire. Mat. di Palermo, t. XII, 1898). 
