Sulle varietà algebriche ad n dimensioni trasformabili ecc. 
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scritte mostrano dunque che le funzioni sono eguali ad una stessa funzio- 
3 (pi, P2, . . . , pp ) 
• Se ne deduce che il differen- 
ne razionale moltiplicata per gl’ lacobiani 
ziale rfp, rfp 2 ... d^p coincide, a meno di fattori tiniti, razionali in .vq , x„ , 
con gli elementi differenziali A, pj A,..., P/, A. .Sarà dunque 
'F rfpi i/p2. . d^p 
essendo una funzione razionale. 
Prendiamo ora, come nuove variabili indipendenti, pj , p 2 ,..., [jp , oltre ad altre variabili 
in guisa da sostituire alla varietà V'^ una varietà V'n ad essa birazionalmente identica 
(immersa in un conveniente spazio). Teniamo presente che l’espressione T dp^ d^ì ... dt^ph 
integrabile su V '„ , nel senso di Poincaré ; se ne deduce subito che su V'n la 'F è funzione 
(certo algebrica) delle sole p. .Su si ha dunque una relazione algebrica 
g (Mc , pi , p, P/3 = O. 
Questa equazione individua nello spazio (T , p^ , p 2 ,..., pp), a /> -|- 1 dimensioni, una 
varietà a p dimensioni P), , in corrispondenza razionale con , possedente i ^ O 1 in- 
tegrali p — pli:\^p) do^ 4.,... d\>p, p, T d\g ^/p,... dpp,...,j Pp T rfp, ifp,... dpp, 
trasformati dei dati integrali a p dimensioni di V„. E con ciò, il teorema è dimostrato. 
2. Nel caso che gl’integrali dei quali si parla siano di prima specie, se ne deduce il 
teorema ; 
Se lina varietà algebrica V„ , n >> p di mensioni, possiede p -j- 1 (almeno) 
integrali p — dimensionali di prima specie tali che i rapporti fra gli elernenti dif- 
ferenziali di p di essi al rimanente siano funzioni finite indipendenti, la V„ è in 
corrispondenza razionale con una V,, , a p dimensioni, di genere p — dimensionale 
maggiore di p (eguale anzi al numero di quegl' integrali). 
11 sistema canonico della sudetta varietà Vp risulta anzi, sotto le suddette condizioni, non 
composto nè con un fascio di varietà a p — ■ 1 dimensioni nè con un sistema, d’ indice 1 , 
di varietà di dimensione minore (ma maggiore di zero). 
Sotto questa restrizione, le sopradette condizioni sono evidentemente oltre che sufficienti 
necessarie, perchè la sia in corrispondenza razionale con la Vp , di genere maggioi'e 
di p, cioè perchè la V^ possegga una schiera oo-", di genere maggiore di e di indice l, 
di varietà ad n — p dimensioni. 
Catania, Novembre igog. 
