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Sopra gli inviluppi in serie di funsioni ortogonali 
risulti minore od uguale a , cioè si abbia ; 
m I E 
Risulta allora in tutti i punti di (a, b), fatta al più eccezione per quelli di un insieme 
di misura nulla ; 
f, (x) = lim S„. (x) 
(4) /, (X) = (X) + Z, [ (x) - S„. (X) ] ; 
ed esclusi i punti di un insieme, la cui misura è minore di una quantità positiva t, che 
può essere scelta ad arbitrio, la precedente serie (4) converge in egual grado alla f\ (x). 
4. Ammettiamo ora che la serie 
(5) Ak Fft (x) , ^ j ^ 
a 
sia convergente nei punti di {a, h), {*) e però convergente in egual grado, quando si esclu- 
dano i punti di un insieme, la cui misura è minore di una quantità positiva x , arbitraria- 
mente scelta. Si può infatti {**) determinare una successione crescente di numeri interi, po- 
sitivi : 
fi (x) — S„. (x) 
0 
{i=l,2, 
oo). 
n -2 , 
tale che, detto H^. l’ insieme dei punti, in cui qualche resto della (5) a partire dall’ nf° , 
non è in valore assoluto minore di -f- , si abbia ; 
2 ' ’ 
m ( //„. ) ^ 
(/= 1, 2, , cx)) ; 
ed allora, assegnato un valore i' dell’indice /, in modo da avere: 
(*) L’ipotesi che la (5) converga si può sostituire coll’altra che sia in ogni punto di {a. b) determinata: 
segue infatti dalla (4) che deve allora essere convergente, fatta al più eccezione per i punti di un insieme 
di misura nulla. 
(**) Cfr. H. Lebesgue : Sur ime proprièté des fonctions [Comptes rendus des seances de l’Académie des 
Sciences (Parisi, tome CXXXVII (2“® semestre, 1903), pp. 1228-1230] — Lefons sur les séries trigononiétrìques 
[Paris, Gauthier - Villars (1906)]. 
