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Carlo Severini 
[Memoria XI.] 
e posto : 
H, = +r,„, + + ..., 
ove in generale con H' s’indica l’insieme dei punti di che non appartengono 
a nessuno degl’ insiemi ; 
:y=o,i,2,..., h-ì) , 
è ben chiaro che per tutti i punti dell’ insieme C^b {Hi,) complementare di Hi . , la cui 
misura differisce da 6 — a per meno di t, la (5) converge in egual grado : preso un nu- 
mero g positivo, arbitrariamente piccolo, se i" è un valore dell’indice i, abbastanza grande 
perchè siano soddisfatte le condizioni; 
^ g , 
risulta, per ogni n ^ ni„ : 
^ii Aji V (x) 
^g, 
fatta eccezione per i punti di H„.„ , che è contenuto in Hjf _ 
Dal risultato del § prec., segue ora, nell’ ipotesi che la (5) converga : 
00 
fi (x) = Au V/i (x) , 
1 
fatta al più eccezione per i punti di un insieme di misura nulla. 
Inoltre, essendo F un insieme misurabile qualsivoglia, contenuto in (a, b), si ha : 
fi (x) dx= j A,i V„ (x) dx 
e poiché (§ 2): 
/i (x) dx Ak / Vk (x) dx , 
risulta in fine ; 
CO CO 
^ 1 , A A (x) dx — 2lK A / A (x) dx , 
1 1 
cioè la serie (5) è completamente integràbile per sene. (*) 
Riassumendo possiamo dunque enunciare il seguente teorema : 
La funsione f(x) e le : 
(1) A (x) (>fe=l,2,...., oo) 
(“) Cfr. G. Vitali: Sull’ integrazione [Rendiconti del Circolo Matematico (Palermo) Tomo XXIII 
(i® semestre, 1907), p. 137.] 
