Sopra gli inviluppi in serie di fuìisioni ortogonali 
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siano nell' intervallo (a, b) sotmnahili insieme ai loro quadrati, e le (1) soddisfino 
alle condisioni : 
^ I 0 se ni 
P {X) Vm ix) Vn (^) dx =c j 
' 1 se w 
a 
ove p (x) è una ftinsione determinata per ciascuna successione (1), misurabile, 
limitata ed avente tin limite inferiore maggiore di sero. 
La serie : 
00 / 
(5) {x) , A„=\ p {x)f{x)V,fx)dx , 
a 
supposta convergente, rappresenta nell' intervallo (a, b) una funsione sommabile 
insieme al suo quadrato, verso la quale converge in egual grado se si eccettuano 
i punti di un insieme, la cui misura è minore di una quantità ~, arbitrariamente 
scelta ; è inoltre integrabile completamente per serie. 
5. La successione (1) si dice, come è noto, chiusa se, all’ infuori di funzioni ad in- 
tegrale nullo, non esiste alcuna funzione b {x), sommabile insieme al suo quadrato, tale da 
avere : 
r 
(6) / p{x)d{x) V^ {x)dx — 0 (k=:ì,2, , oo) , 
a 
o, come brevemente diremo, se non esiste alcuna solusione effettiva delle equazioni in- 
tegrali (6). 
[n tale ipotesi risulta, qualunque sia la f{x), soggetta alle condizioni sopra dette : 
rh 
(7) 
-, I P ^x) f/(x) — S„ (x) dx = 0, 
tl oo 
e viceversa. 
Nel caso contrario la (1) si dice non chiusa, ed allora, perchè abbia luogo la (7) 
occorre che per ogni soluzione effettiva 6 {x) della (6) risulti : 
' P 
(") 
[x)f{x) 6 (x) dx = 0. 
a 
Ove la (7) sia verificata, partendo da questa, anziché dalla (3), si può evidentemente 
ripetere il ragionamento dei due precedenti §§. Si arriva così al seguente risultato ; (*) 
(*) Cft. G. Lauricella: Sopra gli sviluppi in serie di fun:(^ioni ortogonali [Rendiconti del Circolo Mate- 
matico (Palermo) Tomo XXIX (i® semestre 1910)]. 
