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Carlo Severini 
[Memoria XI.] 
Nelle ipotesi del teorema precedente, se, ove la successione (l) non sia chiusa, 
si ammette inoltre che si abbia : 
r 
/ p {x)f{x) 9 {x) dx — 0 
,/ 
a * 
per ogni soluzione ejfettiva 0 (x) delle equazioni integrali : 
(6) ^ (x) 6 (x) Fft (x) 0 (^ — 1, 2, . . . . , oo) , 
Ci 
la funzione rappresentata dalla serie : 
(5) Zk. Fft (x) , p(x)f{x)V„{x)dx> 
a 
che si suppone convergente, coincide, fatta al più ecceziotie per i punti di un in- 
sieme di misura nulla, (*) colla funzione data f(x). 
6. Nel caso che la serie (5) non converga, ferme restando le altre ipotesi del prec. 
teorema, ci si può giovare di essa per la rappresentazione analitica della funzione /(x) , 
ricorrendo ai procedimenti di sommazione delle serie divergenti, tra i quali primo si pre- 
senta il procedimento di Riemann, poiché, nelle dette ipotesi, la (5), integrata termine a 
termine nell’ intervallo (a, x) {a <fx ^b), dà l’integrale della f{x) in questo intervallo, e 
la serie degl’ integrali converge in egual grado. E tali procedimenti, ove si suppongano le 
funzioni 
(1) F, (x) (^=1,2, .... ,oo) 
continue, forniscono a loro volta altrettanti metodi per la rappresentazione della /(x) me- 
diante serie di polinomi razionali interi. Così ad es., supposta la / (xj, definita nell’ inter- 
vallo (0^ 2x), caso • al quale possiamo sempre riportarci mediante un cambiamento di varia- 
bile, applicando (**) alla corrispondente serie di Fourier il procedimento di Riemann pos- 
siamo dedurre una serie di polinomi razionali interi, che, fatta al più eccezione per i punti di 
un insieme di misura nulla, converga nell’ intervallo (0, 2 t:), e rappresenti la funzione /(x), 
tra i punti in cui ciò si verifica essendo quelli per i quali 1’ integrale indefinito di ; 
9 (^) — “h 2^) -|-/(x 2f) 2/ (x) 
ha una derivata nulla per ^ = 0; in particolare i punti regolari della /(xj ed i punti ove 
essa è la derivata del suo integrale indefinito ; che converga in egual grado alla f (x) , 
(*) Che facciano eccezione i punti di un insieme di misura nulla è ben naturale, giacché , mutando la 
/ (x) nei punti di un tale insieme, non mutano per questo i coefficienti della (5). 
(**) Cfr. H. Lebesq,ue : Lecons sur les séries trigométriques fi. c. pp. 89-98). 
