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Carlo Severiììi 
[Memoria XIII.] 
i punti di un insieme di misura minore di una quantità positiva, che può essere 
scelta comunque piccola ; è inoltre integrabile completamente per serie. 
A riconoscere se le condizioni del precedente teorema .sono soddisfatte, ed in partico- 
lare se non esistono soluzioni effettive delle equazioni integrali (2), nel qual caso la suc- 
cessione (1), come è noto, si dice, chiusa, e solo occorre tener conto della convergenza della 
serie (4), giovano le considerazioni, che qui vengono esposte. 
l. La proprietà che la (1) sia chiusa è caratterizzata dal Fatto che per ogni funzione 
f (x) , sommabile insieme al suo quadrato nell’ intervallo {a, b), si abbia; 
(5) 
P l-v) 
f{x) 
dx = A,:- , 
1 
o, ciò che è lo stesso : 
( 6 ) 
\p{x) f{x)-S„{x) 
11 ex: ' 
dx = 0 
ove si è posto ; 
(x) Zh Vk (x). 
Per la validità della (5), che è il punto di partenza nella dimostrazione del teorema 
sopra ricordato, è necessario e sufficiente, ove la (1) non sia chiusa, che per ogni solu- 
zione effettiva delle (2) risulti verificata la (3). (*) 
2. Trasformiamo la condizione espressa dalla (5). Si ha anzitutto: 
p (x) | /(x)— S„ (x) I dx ^ < p (x) /(x)— S„ (x) 
r 
dx / p (x) dx > ■ 
e, se / è il limite inferiore della p (x’I nell’ intervallo [a, b) ; 
. l 
rh 
I /(x) — S„ (x) I dx ^ i p (cc) /(x) — S„ (x) dx / p (x) dx 
; 1 
) ’ 
donde si deduce per la (6) : 
(7) 
lim 
w — co 
I /(x) — Sa (x) I dx = 0 
{a <C X b) 
(‘) Cfr. la Nota sopra citata. 
