Sìlìle successioni di funzioni ortogonali 
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ed a maggior ragione : 
Risulta dunque : 
lini 
ll~OQ 
fix)-S,fx) 
dx = 0. 
a 
( 8 ) 
f(x) dx = ^, 
1 
Vii (.vi dx 
(a < m ^ b) ; 
a a 
e, com’ è evidente, la serie del secondo membro converge in egual grado nell' intervallo 
fu, b). 
Inversamente si supponga ora verificaia la (8). Per un noto teorema f), essendo la serie : 
CO 
1 
convergente, come si deduce dall’ eguaglianza : 
'h 
1 
•b 
> n / 
(9) 
I p (aà 
./■(.vi 
'^dx~^\Af= p(x) 
fix) - S„ (ai 
•y 
a 
a 
che ha luogo qualunque sia n , esiste una funzione (.t) , sommabile insieme al suo qua- 
drato nell’ intervallo {a, b) , e tale che si ha ; 
p (.vi 
/; (.V) 
dx — Af , A„ = f p (ai/l (a) V„ (a) dx ; 
e quindi, per quanto è stato sopra detto ; 
/i (.r) dx = Al, / V,,. (ai dx 
j 
a 
{a <i X - f b). 
Dal confronto di questa eguaglianza colla (8) si ricava : 
i 
/ (ai dx =r. / /i (a-) dx 
rx 
{a <f X b). 
Le due funzioni f {x) ed / (•») non possono dunque essere differenti che in un insie- 
me di punti di misura nulla, e \& f {x) soddisfa pertanto, come \s. f\ (x.) , alla (5). (*) 
(*) Cfr. E. Fischer : Sur la convergence en moyenue [Comptes rendus des séances de l’Académie des 
Sciences (Paris) tome CXLIV d'=‘' semestre 1907), pp. 1022-1024]. Cfr. anche la mia nota citata in prin- 
cipio. 
