Sulle successioni di funzioni ortogonali 
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misura di F non supera [j. : 
/ (,t) dx 
= 9 
f(x) — S,, [x) 
dx (// = 1, 2, . . . , 7/' — 1) , 
risulta, qualunque sia n 
Sa (x) dx 
Gl’ integrali delle somme parziali ; 
della serie : 
(4) 
S„ (x) = Zk. a, V„ (x) 
1 
Z,. A„ V, (X) 
i 
\ni (F) ^ |i.]. 
(// = 1, 2, . . . , oc) 
sono dunque equi — assolutamente continui, e la (4), supposta convergente, risulta per 
ciò completamente integrabile per serie (*). 
Si ha così in particolare : 
l 'co co I 
-lò. A, I (X) dx = z. A, V (x) dx {a < .r ^ b ) , 
e per la (S) che, come abbiamo visto, equivale alla (5) : 
ih, A, J\. (.r) dx = / / (.r) dx (a < a' ^ b). 
La serie (4) rappresenta dunque la f{x), fatta al più eccezione per i punti di un in- 
sieme di misura nulla ; e con ciò il teorema enunciato in principio . è pienamente dimo- 
strato. 
4. Venendo ora ad occuparci in modo speciale delle succesioni chiuse di funzioni or- 
togonali, ci proponiamo di dimostrare il seguente teorema : 
Se r eguaglianza : 
'b 
(10) \ p{x)\<^ {x) dx = Zìi Af , A„= p (x) <p (x) ISi (-r) dx 
C) Cfr. Vitali : Sull' iniegrafone per serie [Rendic. del Gire. Mat. di Palermo T. XXIII ( 1 907) pp. 137-15)]- 
