Su alcune nuove applicazioni elei metodi di Picard e Eiemann 
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dove le a ik sono costanti e dove 
<*22 ^33 b fl 'l2 a i3 
0. 
Nessuna delle a ik (i > 3) può essere nulla ; cliè, se p. es. a = 0, 
allora le X 2 , X 3 , X 4 , sarebbero linearmente dipendenti. Non 
si diminuisce la generalità dei risultati, supponendo che le 
a ik (i > 3) siano positive. Qualche volta poi, per semplicità di 
notazione scriverò : 
3 3 , 3 | 3 
3b — aa 3^7 1 a ‘ 2 3à7 + a ' i% 3^3 
Non ci occuperemo dapprima dei teoremi di « esistenza », 
e ci volgeremo senz’ altro al metodo di Riemann : esso ci dirà 
quali sono i teoremi di esistenza , che noi dobbiamo dimostrare. 
Troveremo che il metodo di Riemann è sempre applicabile alle 
equazioni del tipo precedente, purché le b Vl ....r m sieno legate da 
certe equazioni, che determineremo in seguito, e che chiameremo 
condizioni di Ilieinann. Indicheremo con *D (y) il polinomio ag- 
giunto a F (w) : quel polinomio cioè, che contiene linearmente 
una funzione v e le sue derivate, e che gode della proprietà che 
sia identicamente 
(3) 
v F (u) — u O ( v ) 
3Li 
3xi 
-j— 3 Lz ! 
I or» _ 
3 F 
dx 3 
dove le Li sono funzioni lineari tanto nella u e nelle sue deri- 
vate, quanto nella v e nelle sue derivate. 
L’ espressione 0 y) è nel caso attuale data da una forinola 
del tipo : 
w i ^2 
(l bitì ) 0 (®) = S £ E Or, r 2 — r m Xu X 2 Xm (v) 
r ± = 1 r g =2 r m =l 1 2 
dove le c sono funzioni regolari nelle x (Cfr. Niccoletti loc. oit.). 
Indicheremo con 3rv r | r s quell’espressione, che si ottiene, sepa- 
