Su alcune nuove applicazioni dei metodi di Picard e Biemann 
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§ 2. Prima di procedere oltre nell’ esporre il metodo di Rie- 
mann, è opportuno soffermarci su quanto dicemmo nel § 1, com- 
pletando e precisando le nostre asserzioni per mezzo del metodo 
delle approssimazioni successive di Picard. 
Anzitutto noi comincieremo dall’ osservare che noi suppo- 
nemmo note su 2 la u e le sue derivate di ordine 1, 2,...., i 
Ma ora noi ci chiediamo : Si possono scegliere a piacere su 2 
i valori della u e di queste sue derivate Si può dimostrare ap- 
punto che questi valori si possono dare ad arbitrio (purché na- 
turalmente siano scelti in modo compatibile) (*) e che sempre 
esiste in R un integrale u della equazione F (u) — 0, finito e 
continuo insieme a tutte le derivate che occorre considerare, in 
guisa che su 2 esso e le sue derivate di ordine 1,2,...., x— ì assumano 
i valori prefìssati. La dimostrazione si ottiene col solito metodo 
delle approssimazioni successive. Posto 
F (n) = F l (a) — F 2 (ii) 
dove è F x (u) = Xp Xp" (u), scriveremo 
Il = ll 0 + U 1 -j- Il 2 -j- 
dove F i (m 0 )=0, F x (?q) — F 2 (?q_i) (i>l) in R , e dove su 2 la 
u Q e le sue derivate di ordine 1, 2,...., x— ì assumono i valori pre- 
fissati, mentre le u t (i>l) e le loro derivate di ordine 1, 2,...., x— ì 
si annullano su 2. Costruiamo in R una funzione cp ; questa 
funzione, e le sue derivate di ordine 1, 2,...., T _i prendano su 2 
i valori prefissati; poniamo poi ?e 0 = <p - f- q>. Per determinare u Q , 
basterà costruire una funzione che su 2 si annulli, insieme alle 
derivate di ordine 1, 2, , t — le che in jS soddisfi alla equa- 
zione F i 4) = — F i (?). 
(*) Ciò equivale a dire che si possono prefissare ad arbitrio su Z i valori della « e delle 
sue derivate uormali di ordine 1,2, , x — 1. 
