Su alcune nuove applicazioni dei metodi di Picard e di Pieni ann 
dovessero annullarsi per t k = 0 ( J> = 1, 2, m), 
E così senz’ altro dimostrato il teorema di esistenza : 
Scelti su 2, in modo compatibile, i valori della u e delle sue 
derivate di ordine 1, 2,...., t — 1, esiste in R un integrale u della 
E (u) = 0, che su 2 soddisfa alle condizioni imposte. 
Posto questo, passiamo alla funzione v ; la funzione v sui 
piani e sugli spigoli del triedro A (A 1 , A 2 , A 3 ,) deve soddisfare 
alle condizioni (A), {A') e nell’ interno del triedro deve essere 
un integrale dell’equazione 4 fv) = 0 ; in line essa deve essere 
tale che si possa applicare 1’ integrazione per parti all’ integrale 
Noi dovremo esaminare a una a una le precedenti condizioni 
che sono imposte alla v, e comincieremo anzitutto dallo studiare 
le equazioni (A), (A') cui essa deve soddisfare sulle faccie piane 
e sugli spigoli rettilinei del tetraedro AA 1 A., A r Queste equa- 
zioni sono in generale incompatibili : non può cioè in generale 
esistere nel tetraedro AA l A 2 A 3 una funzione y non nulla, fi- 
nita e continua insieme alle derivate che occorre considerare, 
la quale soddisfi alle equazioni predette. 
Noi supporremo d’ ora in poi che ciò non avvenga per le 
equazioni F fu) = 0, che noi considereremo. 
Noi supporremo cioè che esista una funzione y finita e con- 
tinua (con le sue derivate) che sulle faccie e sugli spigoli del 
tetraedro soddisfi alle volute condizioni senza essere nulla nel 
punto A. Ciò porta a delle equazioni, tra i coefficienti di 
$ (v), o, ciò che è lo stesso, tra i coefficienti b Vi r , n di F fu) ; 
noi supporremo d’ ora in avanti soddisfatte queste equazioni. A 
esse daremo il nome di « condizioni di Elemann ». Per mag- 
giore chiarezza studieremo due esempii : 
1°) Sia m — 4, 1 1 = 1 (i < 4) ; potremo evidentemente sup- 
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