Su alcune nuove applicazioni dei metodi di Picard e Riemann 13 
Ritorniamo ora alla teoria generale. Io dimostrerò ohe : 
« Se per un’ equazione E (u) = 0 sono soddisfatte le condi- 
zioni di Riemann, esiste nell’ interno del tetraedro AA, A., A 3 una 
funzione v, integrale dell’ equazione $ (v) =: 0, che sulle faccie e 
sugli spigoli del triedro A (A t A., A 3 ) soddisfa alle equazioni 
(A), (A') e che nell’ interno del tetraedro si comporta in guisa 
tale che valga la uguaglianza (I) del § 1. 
Comincieremo dallo stabilire un lemma ; sia X (r t , x 0 , x 3 ) una 
funzione qualunque data entro il tetraedro AA l A 2 A 3 ; e sia B 
un punto generico di questo tetraedro. Supponiamo (ciò che non 
diminuisce la generalità) che A sia 1’ origine degli assi coordi- 
nati. Tiriamo dal punto B la retta che ha i coseni direttori prò 
porzionali ad a h , a i0 , a i3 ; questa retta o incontrerà (per le ipo- 
tesi fatte sulle a ik ) uno dei segmenti AA V AA 2 , AA 3 oppure in- 
contrerà uno dei triangoli AA 2 A 3 , AA 3 A. l , AA l A 2 in un punto 
interno al triangolo stesso. Noi chiameremo B, questo punto di 
intersezione, e indicheremo con xf, xf, xf le sue coordinate. Al- 
meno una delle tre quantità x ( {\ xf, xf, è per ipotesi nulla. E 
precisamente la xf è nulla, se il punto B cade nella regione R l 
limitata dai piani AA 2 A 3 , AA { A 2 , AA { A 3 ; la xf è nulla, se 
B cade nella regione R 2 , limitata dai piani AA 3 A v AA 3 A if 
AA i A i ; infine è nulla la x ( i\ se il punto B cade nella regione 
R 3 , limitata dai piani AA 2 A v AA 2 A i AA i M. Indicheremo poi 
con x { f -j- a h tf\ xf -j- a i2 tf\ xf f a i3 tf* le coordinate x v x 0 , x 3 
del punto B , ossia porremo : 
dove X è una funzione continua e derivabile delle x' v x 2 , x 3 . 
Questo integrale è una funzione del punto B, ossia è anche 
esso una funzione di x v x 2 , x 3 ; questa funzione è evidentemente 
a* — 4° = Uin f (X = 1, 2, 3). 
Porremo infine : 
L — J B . X (x 
