Su alcune nuove applicazioni dei metodi di Picard e Biemann 
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zioni p. es., che hanno i coefficienti analitici (cfr. Le Boux e 
Delassus loc. cit.) (*). 
Il metodo di Biemann si può applicare poi a queste equa- 
zioni più generali quasi senza alcuna modificazione, perchè 
anche nel caso attuale si riconosce lecita la integrazione per 
(*) Anche, quando i coefficienti della F, O non sono funzioni analitiche, si può ancora 
in qualche caso particolare riconoscere le legittimità dell’ applicazione del metodo delle 
approssimazioni successive. 
Ecco qui un semplice esempio, che basta a mettere in luce il modo, con cui si possono 
modificare in tali casi i ragionamenti del § 2. Sia data 1’ equazione 
Aj X 2 ....X m — i X m iv vi Xm — i iv — lue — 0 
dove a, b sono funzioni regolari delle x v x 2 , x 3 e dove è p. es. (A m _i X ni ) — X X m • Si 
tratti p. es. di determinare quell’integrale w, che sulla superficie S (cfr. vi 2) assume valori 
prefissati, insieme alle sue derivate di ordine 1 , 2 ,..., m — 1 . 
Al solito si pone w — iv 0 + w l -f- iv 2 -f- , dove il termine «q (i>>0) è determinato 
dalla condizione di annullarsi insieme alle derivate di ordine 1, 2 ,..., t — 1 su E e di sod- 
disfare in R alla condizione 
X, ... A' m — l X m (uq) “ a X m —\ (uq_i) 6wq_i . 
R è quella regione tale che la traiettoria della X k (k — 1, 2,... m ) uscente da un suo 
punto generico A incontra S in un punto A k e in un punto soltanto. 
Posto lungo questa traiettoria 
dx l dx 2 dx 3 ^ 
<pft2 'fftli 
avremo che il valore di wq nel punto A è dato da 
(18) w t (A) = 
Col segno 
m ~ 1 Ja 2 dt 2 Ja 1 Xm—\ d - bvj i — i] dt± 
m ) intendo significare che 1’ integrazione deve essere fatta 
sul segmento A A /, . Si tratta ora di costruire l’espressione a X m —i (u'j)-\-bw L , da cui con nuove 
integrazioni otterremo poi il valore di Tutta la difficoltà sta evidentemente nel cal- 
colare la X m -i (ivi) in modo opportuno, usando soltanto delle quadrature. Osserviamo che 
per ipotesi 
X m (Xm— ì) — X m _i (X m ) — X Xm ; 
quindi 
Xm [X w _x (wq)] — - — X Xm ( w ù À~ Xm—1 £x m (wq)] 
e quindi 
CA [A 
X m —i (wq) — — I . X X m (wq) dt m -j- / a X m -1 ( X m wq) dt m 
J -n-m J A-m 
Ora per costruire X m (ivi), 0 X m —i X rn (wq) basta sopprimere nel secondo membro 
della (18) rispettivamente il primo o i primi due segni di integrazione; la formola precedente 
dà quindi senz’ altro il mezzo di costruire la X m _i (ivi) e perciò anche la X m —i ( W Ù + bw/ 
(in funzione della a Xm-x (wì—ì) -)- òwq_ i) con sole quadrature ; e si può quindi nel solito 
modo dimostrare la convergenza delle serie fornite dal mètodo delle approssimazioni suc- 
cessive. 
Atti Acc. Serie 4 a , Voi.. XVIII — Mem. V. 
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