Intorno a problemi di meccanica riducibili a, quadrature 
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plici, tuttavia non sembra totalmente superfluo che quest’ altra 
classe di problemi sia qui ancor essa indicata per ragione di 
analogia e come complemento in certo qual modo della prece- 
dente Xota. 
III. Le condizioni necessarie e sufficienti per 1’ esistenza di 
quattro integrali comuni distinti, sempre nell’ ipotesi che X, Y , 
Z dipendano dalle sole coordinate del punto, sono, come risulta 
dalla citata tesi di abilitazione : 
(2) a X -f b Y = <p (y i, Z) , a X -j- c Z = ( \> (r, , Q , 
ove adesso è posto : 
(3) yj a x b y , Z = a x c z. 
Quattro integrali primi distinti del sistema (1) saranno in 
tal caso i quattro integrali primi distinti del seguente sistema : 
( 4 ) 
d 2 u 
dt 2 
<P (*i, S), 
W 
+ ( r e 
Zi- 
Queste due equazioni differenziali ordinarie del second’ordine 
si possono considerare appartenenti al moto d’un punto, di massa 
unitaria, in un piano sotto l’azione delle forze <p (r h £), (ttj, £), 
essendo -q, £ le coordinate rettangolari del punto stesso nel piano. 
Eliminando dal sistema dei tre integrali primi, non 
dipendenti esplicitamente dal tempo, del sistema delle due equa- 
zioni differenziali (4), è manifesto che si otterrà un’ equazione, 
contenente tre costanti arbitrarie , la quale rappresenta quella 
superficie cilindrica fìssa, che sopra si è accennata e su cui il 
punto libero, mobile nello spazio, si trova costantemente per tutta 
la durata del movimento. 
Ammessa, per il sistema (1), 1’ esistenza di una funzione di 
forza u (x, y , z), si avrà, nell’ ipotesi (2) : 
3 u 
dx 
, 3 u 
dy 
? (vi, Q 
3 u 
dx 
, 3 u 
+ c (r, , Q , 
