Sulla varietà quartica con tre piani semplici ecc. 
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§ 14:- — Ciò premesso passiamo alla determinazione del si- 
stema (P). 
Con nn procedimento del tutto identico a quello tenuto nel 
§ antecedente, si ottiene che la dimensione y di tal sistema non 
è inferiore a quattro ; e però si può porre y = 4 -f- t, dove t è 
un numero intero positivo o nullo. 
D’altra parte si dimostra come non possa avvenire che le su- 
perficie X' , in conseguenza del passaggio per le linee y_ (f) , d', r' l \ 
passino tutte per qualche altra linea determinata da quelle; nè 
che fra tutte siano più che oc 4 . Difatti un piano a generico, non 
si può staccare da alcuua di quelle superfìcie X' ; dunque il si- 
stema (T 6 ), che le oo 4i< superficie X' descrivono sopra un tal pia- 
no, avrà la stessa dimensione 4 -f - t che spetta al sistema (X'). 
Poniamo ora che queste superfìcie X' abbiano tutte a comune 
un’ altra linea semplice di ordine z ; e consideriamo la serie li- 
neare caratteristica , di ordine ìi—9 — z e dimensione r=3-}-£, che 
è descritta sulla curva generica del sistema (T 6 ) dalle altre cur- 
ve di questo. Essendo la T 6 del genere p = 7, la serie caratte- 
ristica in discorso è certamente speciale (visto che è ryn—p) , 
e come tale dovrà essere prodotta da cubiche , passanti per i tre 
punti doppii della l' 6 e per altri (3.6 -2.3— 9-f-£=) 3-j-s punti 
semplici della medesima (*). Dovrà quindi essere r>(9 — 3 — 3— s=) 
3—z; ma, poiché in questo sistema lineare di cubiche la di- 
mensione r(~3~ht) è certamente maggiore del genere p(— 1), la 
serie caratteristica (di dimensione r — 1 >jo — 1) relativa a tal si- 
stema è certamente non speciale, onde il sistema stesso non po- 
trà essere sovrabbondante (**) , e però (r~) 3— f-^=3 — z, da cui 
t=z=o. c. v. d. (***). 
(*) Brill e Noether « Ueber alg. functionen etc. » Math. Amial VII, pag. 278. 
(**) C. Sègre. — « Sui sistemi lineari di. curve piane... » nei Rend. del Gire. Matema- 
tico di Palermo t. 1°. 
(***) Questo procedimento mi fu gentilmente indicato dal chiarissimo prof. M. Pieri, che 
se ne è servito in una ricerca analoga nel suo lavoro : « Le trasformazioni razionali dello 
spazio inerenti ad una conica » Rend. del Circ. Mat. di Palermo t. VII. 
