Saalschütz: Discriminante algebraischer Gleichungen. 
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und er zeigt, daß und wie sich dieser Ausdruck unabhängig (d. h. explicite unabhängig) 
von den Wurzeln der Gleichung (1) durch deren Coeffizienten darstellen läßt. Aber: 
(a—b) (a — c ) . . . (a—g) = g' ( a ), also ist auch: 
(5) = A ia) (ff (a)) 2 
Nun ist allgemein, wenn Fix) und (f (x) ganze Funktionen von x, die letztere 
von geringerem Grade als die erstere, sind, 
F{x ) 
(f ix) 
— ganzer Funktion -\- H , 
wobei H eine Summe von Partialbrüchen ist, deren Nenner die Faktoren x — a, x—b, 
..., x—g von (f(x), die wir als von einander verschieden annehmen, sind; die Zähler 
F(a) Fib) Fig) 
aber sind 
Bringt man H wieder auf gleiche Benennung, so 
g> ia) ’ <f ib) " ' (f (g) ’ 
ist der Zähler der Rest der Division F {x) : </> (x). Nunmehr nehmen wir 
(6) F (pc) = A ix ) . i<p ix)) 2 
also gleich dem Ausdruck, der aus der rechten Seite der Gleichung (5) hervorgeht, wenn 
darin a durch x ersetzt wird. Dann ist durch Zerlegung in Partialbrüche und wenn 
G eine ganze Funktion bedeutet, 
(7) 
folglich 
18) 
A (x) ((f (x)) 2 
(f ix) 
= G 
A (a) (f (a) A (6) g (6) 
x—a 
x — b 
^ ig) (g) 
x—g 
A ix) j (f ix) \‘ 
G (f {x) 
-f- A {a) (f ia) x — b) ix — c) . . . ix — g) 
+ d ib) <P ib) ix—a) ix—c) . . . ix—g) 
+ ••• 
+ 4 ig) (f' ig) ix—a) ix—b) . . . [x—f) . 
Was hier rechts zu G (f ix) hinzukommt ist der Rest der Division A (x) i<p ix)) 2 : 
(fix), muß also nach den Ausführungen Cauchys konstant, d. h. unabhängig von x 
und zwar die Discriminante der Gleichung g> ix) — 0 sein. 
Daraus folgt zunächst: 
A ia) (f ia) + A (b) y ib) + A (c) (f (c) + • • • + A ig) y [g) = 0 
oder in gebräuchlicher kürzerer Schreibart 
(9) Z A ia) (f ia) = 0. 
Ferner ist der Faktor von A (a) g> (a) in (8) identisch mit der linken Seite der 
Gleichung (3), läßt sich also gemäß (2) auch schreiben: 
x n 1 -f* *4-1 a ) x>> u H“ -f" A, a -j- a 2 ) x H ^ iA n _ l -{- A n _ 2 a a v l ) 
Setzt man hierin b, c , . . . g statt a, so erhält man die Coeffizienten bezüglich 
von A ib) (f ib), A (c) (f (c) . . . , A yg) (f {g), und wenn man nunmehr die Coeffizienten 
von x n ~ 2 , x n ~~^, ... x verschwinden läßt, so gewinnt man die Gleichungen : 
Ai Z ( A (a) (f ia)) -(- Z{aA (a) <f ia)) — 0 
A 2 Z (A ia) gi ia)) + ZaA (a) g> (a)) + Z(a 2 A (a) g> (a)) 
etc. 
0 
