Saalschütz: Discriminante algebraischer Gleichungen. 
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Hierin bedeuten s 1? s 2 , ••• die Summe der l ten , 2 ten , etc. Potenzen der 
Wurzeln a, b , . . . , g, so daß also s 0 = n ist. Infolge der Newton sehen Gleichungen 
zwischen den Potenzsummen der Wurzeln einer algebraischen Gleichung und ihren 
Coeffizienten lassen sieh die Coeffizienten von D , x x , x 2 , . . • , x n _\ soweit verkürzen, daß 
in ihnen als höchste Potenzsumme der Gleichungswurzeln die n — 2te erscheint. 
Insbesondere werden die Coeffizienten der lten und 2ten Zeile zu folgenden: 
A n-1’ 2A n - 2’ 3A n- 3’ •••> (W— lMj, n 
nA n , (n — 1) A n _ v in-2) A n __ 2 , ..., 2 Ä 2 , A t ; 
die erste Vertikalreihe ist aber (von oben nach unten) A n __ v nA n , s 2 A n , s 2 A n , . .., 
s n 2 A n . Und nun besteht die mit s k A n beginnende Horizontalreihe aus Summen, die 
wir mit C k h bezeichnen und zwar: 
G k, h = s lc A h + s k - 1 A h-\- 1 + Sie- 2 A n- f-2 • • • + s i A k-\-u — 1 + (& + Ä) A k _^ ]t ; 
dabei sind aber diejenigen Summanden fortzulassen, bei denen A einen größeren Index 
als n erhält. Mit Benutzung dieser Bezeichnung ergibt sich aus (15) nach Absonderung 
der letzten dieser Gleichungen folgendes System: 
2 A n _ 2 x 1 -\- 3 x 2 + • • • ~t~ ( n 
(n— 1) A n _ x x 1 -j- (w 2)A n _ 2 x 2 + • • • + 
G l, n-l x l + G l, n — 2 ^2 + ' ' * + 
C 2, n — 1 X 1 + C 2, n — 2 *2 + * * * + 
G n — 3, n-l *1 + ^V-3, n— 2 ^2 + * • * + 
l)A l x n __ 2 + «Vi = 
A n— 
-J> 
2 A 2 x n _2 -j- A 1 x n _ 1 = 
— nA n 
D 
G l, 2 x n— 2 + C ’l,l x n— 1 = 
~ S 1 A n 
D 
G 2 , 2 x n- 2 + ^2,1 x n — 1 = 
S'2 A n 
I) 
G n—3,2 x n — 2~^~ G n-3,\ x n-l s n-3 A n ^ 
= —\C 
| G n- 2, n + G n — 2, n-l *1 + ^n-2, n-2 x 2 + * * * + <?«— 2, 2 *n-2 + G n- 2, 1 *»t-l } 
Bezeichnet man jetzt in diesen Gleichungen 1 ) die Determinante der Coeffizienten 
auf der linken Seite mit R, setzt außerdem 
D = ß R, 
so kann man x x , x 2 , . . . x n _ l durch ß multipliziert mit gewissen Partialdeterminanten 
von R ausdrücken, die wir mit X v X- 2 , ... bezeichnen, und erhalten dann aus 
der vorhin abgesonderten der Gleichungen (15) für J n einen Ausdruck von der Form : 
= ß | G n—2,n ^ ~ G n— 2 , n-l ^1 ~~ G n— 2, n— 2 X 2 ~ ’ * * — ^rc-2, 1 1 } 
worin C n _ 2 n , C n _ 2 W _ 1 etc. die oben angegebenen bekannten, d. h. aus den Coeffi- 
zienten der Gleichung (1) und den ersten n — 2 Potenzsummen ausdriiekbaren Constanten 
sind. Nun läßt sich der eingeklammerte Faktor von ß auf die Form einer Determinante 
bringen, welche wir, abgesehen vom Zeichen, S n nennen, so daß 
J n = Az ß S H = y S n 
ist. Und jetzt läßt sich beweisen — und zwar darf dieser Beweis nicht etwa als selbst- 
verständlich fortgelassen werden — , daß y eine Constante ist, deren Wert durch Be- 
x ) Im Folgenden soll größerer Kürze wegen nur der Gang der Untersuchung 
angegeben werden. 
