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Sitzungsberichte: Mathematisch-physikalische Sektion. 
Sitzung am 9. Dezember 1909 
in der Universität. 
Herr Professor Schülke hält einen Vortrag über 
Das Imaginäre im Unterricht. 
Der mathematische Unterricht muß sehr verschiedenen Anforderungen genügen. 
Wir dürfen nur streng logische Entwicklungen und völlig exakte Methoden benutzen, 
aber die Darstellung muß dem Verständnis des Durchschnittsschülers angepaßt sein. 
Sodann aber müssen wir stets zur Darstellung bringen, daß es sich nicht um Hirn- 
gespinste handelt, sondern daß jeder Schritt vorwärts eine reelle Bedeutung für die 
Erkenntnis der Natur hat. 
Von diesen Gesichtspunkten möchte ich eine Frage zu beantworten suchen, 
welche kürzlich E. Study, Bonn, aufgeworfen hat, ob nicht die imaginären Größen 
überhaupt aus der Schule verbannt werden sollten? Dieser Gedanke ist 
zunächst überraschend, denn bisher hat man allgemein die imaginären Größen als 
Krönung des Lehrgebäudes der Arithmetik angesehen, und die Lehrpläne schreiben 
ausdrücklich vor: Erweiterung des Zahlbegriffes von der ganzen positiven bis zur 
komplexen Zahl. Aber es gibt manches, was gegen ihre Verwendung im Unter- 
richt spricht. 
Die imaginären Größen treten zunächst bei Wurzeln aus negativen Zahlen auf, 
man spricht dabei gewöhnlich von rein imaginären Zahlen, deren Berechtigung- 
wissenschaftlich bestritten wird. Ich beginne daher mit den quadratischen 
Gleichungen. Diese liefern für den naiven Standpunkt zwei, eine oder keine Lösung. 
Wenn man durch Einführung der komplexen Größen stets zwei Lösungen hinschreibt, 
so sind folgende Gründe dafür maßgebend: 1. Will man ausnahmslose Sätze er- 
halten. Hierbei ist aber auf den Widerspruch hinzuweisen, daß Ausnahmslosigkeit 
nur in der Arithmetik herrscht, in der Geometrie sagt man stets: ein Kreis schneidet 
eine Gerade in zwei, ein oder keinem Punkte; auch bei Determinationen werden stets 
diese Unterschiede hervorgehoben. 2. Will man den GAUSSschen Satz anwenden, daß 
jede Gleichung n ten Grades w-Wurzeln hat. Aber dieser Satz wird im Unterricht nicht 
bewiesen, und es hat wenig Zweck, die Richtigkeit eines unbewiesenen Satzes durch 
Einführung nicht vorstellbarer Größen zu stützen. Auch gibt die Geometrie fast in 
jeder Stunde einen Ausnahmefall. Zwei Kreise sollten als Kurven zweiten Grades 
vier Schnittpunkte haben, die Schulmathematik kennt nur zwei, da wir auf die 
imaginären Kreispunkte verzichten müssen. Die Fassung: „eine Gleichung n ten Grades 
hat höchstens n-Lösungen“ würde vielleicht besser den Bedürfnissen des Unterrichts 
entsprechen. 3. Wird behaivptet, daß weitere Einheiten nicht mehr möglich sind, daß 
alle Rechnungen mit komplexen Größen wieder auf komplexe führen; aber der Nach- 
weis wird bloß bis zur Division geliefert. Potenzen mit imaginären Exponenten, 
log (a-\-b i), können nicht mehr besprochen werden. 
Die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen war noch vor zehn Jahren 
in weit verbreiteten Schulbüchern nicht erwähnt, gegenwärtig findet man sie fast 
immer 1 ); aber die Form, in der sie bei Weber- Wellsteust und in allen Schulbüchern 
behandelt wird, läßt für den Schüler zu wenig erkennen, worin die Hauptbedeutung 
beruht. Wählt man statt eines Punktes drei oder vier, und unterwirft sie gemeinsam 
l ) Es kommt sogar vor, daß auf Gymnasien die komplexe Ebene x -j- iy in 
Sekunda, die reelle cc?/-Ebene erst auf Prima behandelt wird! 
