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Sitzungsberichte: Mathematisch-physikalische Sektion. 
Fast ohne eines Beweises zu bedürfen, überzeugt man sich von folgenden Eigen- 
schaften der Dual-Exponentenreihe: 
1. Nimmt man aus ihr eine Zahl, welche größer ist als sämtliche derselben 
vorangehenden und betrachtet sie als Mittelglied einer von der Tabelle abgetrennten 
Zahlenreihe gleichen Anfangs, so ist jede von deren beiden Hälften in sich selbst 
symmetrisch, d. h. von rechts und von links gelesen identisch und mit der andern 
Hälfte ebenfalls symmetrisch. Wir wollen eine in dieser Art charakterisierte Mittel- 
zahl mit Rücksichtnahme auf den Platz, den sie in der Tabelle einnimmt, als Vor- 
springzahl und mit dem Buchstab £ bezeichnen und die um dieselbe sich sym- 
metrisch gruppierende, mit dem Tabcllenanfang beginnende Zahlenreihe als ein 
Tabellensegment 1 ). Jede Zahl der natürlichen Zahlenreihe erscheint also unendlich 
oft in der Tabelle, aber nur das erste Mal als Yorspringzahl und dann gleichzeitig 
als Dual-Exponent einer Potenz von 2. Diejenige Zahl der Tabelle, welche dem 
Tabellensegment unmittelbar folgt, ist um 1 größer als seine Mittelzahl und zugleich 
die ihr in der Tabelle zunächst folgende Yorspringzahl. Die erste Zahl der Tabelle ist 
1, die erste Yorspringzahl 2, das erste Tabellensegment 1, 2, 1. 
Bezeichnen wir die Reihe der Dual-Exponenten vom Tabellenanfang 1 bis zu 
der beliebigen Vorspringzahl £ durch | 1, . . . £ j 2 ) oder etwas deutlicher durch 
| 1, | ... | 1, | £ |, so können wir das Gesagte und zugleich die Erzeugungsart der 
Tabelle, mit Anwendung einer auf anderm Gebiete gebräuchlichen Bezeichnungsart 
(:,: Zeichen der Wiederholung) folgendermaßen veranschaulichen: es ist 
1 2 
(2) | : 1 | , ... | 1, lTTc+1 I = I 1 I , • • • I £+ 1 I • 
Hieraus folgt leicht: 
2. die Summe der Glieder der Reihe 1 1 ... £ | ist gleich 2^ — 1. 
Anmerkung. Man kann ein centrisckes Tabellensegment auch von der Vorspringzalil (Mittelzalil) 
usu in folgender Weise entstehen lassen. Man schreibt die Vorspringzahl u in die Mitte der Linie, markiert 
«-1 
az beiden Seiten von ft durch Punkte 2 — 1 Stellen für künftige Zahlen. Dann schreibt man zu beiden Seiten 
ft- 2 
von et auf den 2 ten Punkt die Zahl u — 1 ; sodann schreibt man zu beiden Seiten der beiden Zahlen 
u-S 
a-1 auf den 2 ten Punkt die Zahl «—2 und fährt in gleicher Art fort, bis durch Ausfüllung der letzten 
leeren Plätze mit der Zahl 1 die Operation schließt. — z. B. für ct—5 (auseinandergezerrt) : 
5 
4 4 
3 3 3 9 
22222222 
1111111111111111 
oder (zusammengeschoben) : 
121312141213121512 13 12141213121 
3. Die Anzahl der geraden Zahlen des natürlichen Zahlensystems von der 
Potenz 2 (ausgeschlossen) bis zur Potenz 2 r_ ^ 1 (eingeschlossen) ist gleich 2 ,— 1 * 
4. Die Summe der Dual-Exponenten derselben Zahlen, also von der Vor- 
springzahl r der Tabelle (ausgeschlossen) bis zur Vorspringzahl r -j- 1 ebendaselbst 
(eingeschlossen) ist gleich 2 r . 
5. Wenn t u eine ungerade, g eine gerade Zahl, kleiner als 2^, ist, so ist das zu 
{ju ■ 2^ — g) gehörige r gleich dem zu g gehörigen. 
Denn, wenn g kleiner als die Potenz 2^ ist, so ist jeder Factor von g kleiner als 
2'C, folglich, falls g — /u 1 ■ 2 S , worin ungerade, s <T £, daher ist 2 S die höchste Potenz 
x ) Soll die Berücksichtigung der Mittelzahl d) hervorgehoben oder b ) willkürlich 
bleiben, so heiße dasselbe ad a) ein centrisches, ad b ) ein acentrisches Tabellensegment. 
2 ) So daß | 1, ... £ | eine Abkürzung für r ( 2, 4 ... , 2£) ist. 
