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Sitzungsberichte : Mathematisch-physikalische Sektion. 
Der höchste Exponent a des Factors 2 in ß m wird durch den Ausdruck gegeben 1 ) 
(2) a — 2m — 2 — r, 
wenn { u das Produkt aller ungeraden Factoren in m und 
(3) m = 2 r (u. 
ist. Die Zahl r ist aber für ungerades m Null, 2 ) für gerades m leicht zu finden. Wir 
nehmen m als gerade an 3 ) und untersuchen den Verlauf von a für wachsendes m. 
Der Anfang einer Tabelle für o wird durch die 3te Zeile der obigen Dual- 
Exponenten-Tabelle gebildet: 
(4) m = 2 4 6 8) 
o=l 4 9 11 I 
Wir ersehen daraus, daß er mit wachsendem m bis m — 30 zunimmt, für m — 32 
stehen bleibt und dann wieder mit m weiter wächst. Fügen wir nun in (2) dem er 
noch m als zweites Argument hinzu und setzen dann in derselben Gleichung m- j-2 
statt m und r, so gewinnen wir noch die Gleichung 
(5) er (m-j- 2) = 2 m-j-2 — r 
und die Differenz (5) — (2) liefert: 
(6) er (m-j- 2) — er (m) = 4 — r'-j-r 
So lange nun alle Dual-Exponenten höchstens =4 sind, ist entweder r — r 
positiv, oder r — r zwar positiv, dann aber <74; in beiden Fällen ist also er (m-j-2) 
— er (m) positiv und also er mit m wachsend. Ist aber r (also der Dual-Exponent 
für m -j-2) = 5 und daher derselbe für m (also r) = l, so ist er {ni-\-2) — o (m), und 
dies findet bei m = 30, m-j-2 = 32 statt. Etwas Ähnliches ereignet sich aber auch, 
wenn r eine Vorspringzahl £, also m-j-2 = 2 £ und m die untere Nachbarin einer 
Potenz von 2 ist; in solchem Falle ist r die (untere) Nachbarin einer Vorspringzahl 
und daher 1. Aus (6) wird in diesem Spezialfall 
(7) a (2 £) — a (2 £ — 2) = 4-£+l = 5 — £ 
und hier ist der rechts stehende Ausdruck negativ, sobald die Vorspringzahl 5>6 ist; 
deshalb schreiben wir noch 
(7 a) o (2 £ — 2) — o (2 £) = t — 5. wenn t^6. 
Verringern wir in (6) m um 2 Einheiten, so erhält r den Wert 1, r einen 
andern größeren Wert, also wird 
(8) u (2 £ — 2) — a (2 $-4) = 4 + r — 1 
= positivem Werte, es findet also bis 2 £ — 2 einschließlich ein Steigen von a statt. 
Setzen wir jedoch in (6) m = 2 £, also r = £, m-j-2 = 2 ^-j-2, also ist das zugehörige 
r, in (6) als r bezeichnet, wegen der symmetrischen Lage des Tabellensegments um die 
Vorspringzahl herum = 1, daher ist 
(9) a (2 £+2) — (7 (2 0 = 4 — 1 + t 3 ) 
wieder = positivem Werte, daher findet für ein a , dessen Argument eine Potenz von 
2 ist, ein Minimum statt, sobald der Exponent von 2 gleich oder größer als 6 ist. 
Ist der Exponent gleich 5, so hat, geometrisch gesprochen, die Curve a eine flache 
Stelle, steigt aber vorher und nachher; ist er kleiner als 5, so ist ein dauerndes An- 
steigen vorhanden. 
1 ) Siehe meine Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, Berlin 1893 S. 1 18 f. 
2 ) Über eine von Stern gefundene Congruenz zwischen den ß m mit 
ungeraden Index siehe a. a. O. S. 163. 
3 ) Bemerkenswert ist noch die durch Addition von (7) und (9) entstehende 
Gleichung. 
(10) 
a (2 £ + 2) — a (2£ — 2) = 8. 
