Saalschutz: Über die Anzahl der Factoren 2 usw. 
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a (2 t— x) = 2 (2t—x—l) — r(2t—x) 
g (jx • 2 t— x) — 2 (u .2 t — * — 1) — r (2 t — x) 
und wenn x ein anderer der genannten Werte ist: 
a (2 t— x) = 2 (2t—x'—l) — r (2 t— x) 
a (fx 2 1 — x) = 2 (fx ■ 2 1 — x — 1) — r (2 1 — x ), 
daher a (fx ■ 2t— x ) — a (■ /u2t — x) = a ^2^ — x) — a (2 t — x) 
also haben die Größen 
G-(fx-2t — x) und g (2± — x) 
für x — 2, 4, . . . x dieselben Differenzen, also auch an gleicher Stelle ihr Minimum. 
Hiermit ist unsere Behauptung bewiesen. 
Beispiel. Sei m = 3 • 2 11 = 6144; dafür ist r=ll und für 6138, 6140, 6142, 
6146 ist beziehungsweise r — r (6) = 1, r = r (4) = 2, r = r (2) = 1, r = r (2) = 1 , daher 
die o und die Differenzen mit Hinzufügung der oben mitgeteilten Zahlen für m = 2 n 
und ihrer Differenzen: 
Diff. 
a (6 138) = 12 273 
a (6 140) = 12 276 3 
a (6 142) = 12 281 5 
o (6 144) = 12 275 -6 
a (6 146) = 12 289 14 
Diff. 
a (2 042) = 4 081 
U (2 044) = 4 084 3 
ff (2 046) = 4 089 5 
ff ,2 048) = 4 083 —6 
ff (2 050) = 4 097 14 
§ 4 . 
Nunmehr bleiben noch die Stellen anzugeben, wo sich diese Minima, welche die 
Form [x ■ 2 V haben, ihrer Reihe nach auffinden lassen. Wir knüpfen der Anschaulichkeit 
wegen an ein bestimmtes Beispiel an und fragen: Welche Zahlen von der Form t u ■ 2 V 
liegen zwischen 2 9 und 2 10 ? 
Wir beginnen, t u — 1, v — 9 übergehend mit ( u = 3. Da 3 zwischen 2 und 2 2 
liegt, muß der gefragte Exponent von 2 zwischen 8 und 7 liegen oder vielmehr: er ist v — 8. 
Da ferner 5 und 7 zwischen 2 2 und 2 3 liegen, muß in beiden Fällen v = 7 sein. 
Da 9, 1 1, 13, 15 zwischen 2 3 und 2 i (9 = 2 3 -j- 1 , 15 = 2 4 — 1) liegen, ist v = 6. 
Ebenso ist für die ungeraden // = 17 bis 31 v = 5, für u = 33 bis 63 v = 4, 
für ix = 65 bis 127 : v = 3 ; für [x — 129 bis 255 : v = 2; für v = 257 bis 511 : v — 1. 
Diese Zahlen haben wir nun auszurechnen und hinzuschreiben; um aber eine 
bessere Übersicht zu erlangen, nehmen wir an ihnen gewisse Änderungen vor, die 
auf die Ausrechnung ohne Einfluß sind, sich auch in jedem Augenblick zur Wieder- 
herstellung der ursprünglichen bereit finden lassen. Wir multiplizieren die Zahlen 
[x = 3 ; {x = 5 und 7; /t = 9, 11, 13 und 15 etc. mit der Hälfte der zugehörigen 
Faktoren, also mit beziehungsweise 2 7 , 2 6 , 2 5 . . . 1 und machen die letzte Reihe zur 
ersten, die vorletzte zur zweiten usw., so daß die neue letzte Reihe aus einer einzigen 
Zahl besteht. Dadurch erhalten wir folgende arithmetischen Reihen ersten Grades: 
257, 259, 261 etc. bis 511 
258, 262, 266 etc. bis 510 
260, 268, 276 etc. bis 508 
264, 280, 296 etc. bis 504 
272, 304, 336 etc. bis 496 
288, 352, 416, 480. 
320, 448, 
384. 
( 17 ) 1 
