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A. SCHOENFLIES. 
matischen Aufbau eines jeden mathematischen Wissensgebietes Beweis- 
elemente von zweierlei Art eingehen, und zwar: 
I. Die allgemeinen Regeln jeglichen logischen Schließens und 
II. Die Voraussetzungen, die das spezielle mathematische 
W issensgebiet charakterisieren. 
AVas zunächst die logischen Regeln betrifft, so nehmen wir 
ihre Gültigkeit und Anwendbarkeit als erste selbstverständ- 
liche Tatsache an. Es handelt sich ja nur darum, daß sie in der 
Mathematik wie in jeder andern Wissenschaft als allgemein anerkannte 
Gesetze tatsächlich zur Verwendung kommen. Die Untersuchung 
ihres Ursprungs und ihrer Tragweite bleibt, wie wir soeben in § 1 be- 
tonten, außerhalb der Mathematik; sie ist Sache der Philosophie. 
Dagegen mag die Aufzählung der logischen Gesetze, die für die 
mathematische Beweisführung besonders in Betracht kommen, hier 
eine Stelle finden. Abgesehen von den Regeln der deduktiven Schluß- 
weise sind es: 
1. Der Satz vom Widerspruch. Er besagt, daß von den 
beiden Aussagen: „Dem Objekt A kommt die Eigenschaft B zu“, und 
„dem Objekt A kommt die Eigenschaft B nicht zu“, stets nur einer 
richtig ist; er bildet die Grundlage des indirekten Beweises. 
2. Die auf kontradiktorischer Grundlage ruhende Einteilung 
eines mathematischen Objekts oder einer mathematischen Beziehung in 
einander ausschließende Unterabteilungen. 1 ) 
Daß ich gerade diese beiden logischen Prinzipien besonders an- 
führe, beruht auf derjenigen allgemeinen Eigenschaft der Mathematik, 
in der ich ihre logische Besonderheit erblicke, die sie meines Erachtens 
von allen andern abstrakten Wissenschaften unterscheidet und vor 
ihnen auszeichnet. Sie besteht darin, daß ihre Begriffe und Bezie- 
hungen kurzgesprochen kontradiktorischer Natur sind. Das be- 
deutet insbesondere, daß sie ausnahmslos die Methode des indirekten 
Beweises gestatten, und daß die eben genannte Einteilung, anders aus- 
gedrückt, die Erschöpfung aller an sich möglichen Beziehungen, die 
zwischen zwei mathematischen Objekten Platz greifen können, in 
jedem Fall so durchgeführt werden kann, daß jede einzelne Be- 
ziehung vermöge ihrer eindeutigen Bestimmtheit alle andern 
Als Beispiel erwähne ich die von Cantok, stammende Aufzählung der vier 
einander ausschließenden Möglichkeiten, die zwischen zwei Mengen und ihren Teilmengen 
in Bezug auf Äquivalenz an sich stattfinden können (vgl. meinen Bericht, Bd. I, S. 15). 
Übrigens gehört auch die Einteilung der algebraischen Gleichungen nach ihrem Grad 
hierher; woraus man beiläufig erkennen kann, daß die Gesamtheit der zu unter- 
scheidenden Unterabteilungen nicht endlich zu sein braucht. 
