Uber die Stellung der Definition in der Axiomatik. 
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logisch ausschließt. Die mathematischen Objekte sind logisch 
isolierbar. Dieser kontradiktorische Charakter der Mathematik ist 
es auch, auf dem die Harmonie ihrer Gesetze beruht. Er bewirkt 
insbesondere, daß Begriffen, für die der Satz des Widerspruchs und 
die auf ihm ruhende Methode des indirekten Beweises versagt — sei 
es aus logischen oder mathematischen Gründen — ein mathema- 
tisches Objekt nicht entsprechen kann. 1 ) 
§ 3. Die Eigenart der axiomatischen Methode. 
Um die Eigenart der axiomatischen Methode zu kennzeichnen, 
kann ich nichts besseres tun, als auf die Schriften hinweisen, in denen 
sie ihre klarste Darstellung gefunden hat. Die ersten, in denen sie 
tatsächlich zur Erscheinung kommt, sind meines Erachtens die Schriften 
von Pasch über Neuere Geometrie und Dedekinds „Was sind und was 
sollen die Zahlen ? a Das Werk, in dem sie ihre vollkommenste und 
geradezu mustergültige Darstellung gefunden haben, sind aber Hilberts 
Grundlagen der Geometrie. Sie haben der axiomatischen Methode die 
Welt erobert; an sie werde ich daher die folgenden Erörterungen 
an knüpfen. 
Hilbert geht von drei Arten mathematischer Objekte aus, die 
Punkt, Gerade, Ebene genannt werden, und von gewissen mathematischen 
Beziehungen, die diese Objekte betreffen. Ihre nähere Aufzählung ist 
hier nicht nötig. Nur an zweierlei muß ich erinnern. Erstens wird 
zunächst nur eine Axiomgruppe eingeführt, nämlich die der Ver- 
knüpfung, und zweitens sind es bei jeder Axiomgruppe nur die in ihr 
enthaltenen Beziehungen, die den materiellen resp. den mathe- 
matischen Inhalt der Axiome ausmachen. Diese Beziehungen sind es 
daher, die die Grundlage aller Sätze über die Verknüpfung der drei 
Arten von Objekten bilden (wie z. B. für den DESARGUESschen Satz); 
sie bilden aber auch, was ich ausdrücklich anführe, die alleinige und 
ausschließliche Grundlage aller derartigen Sätze. Die Namen der 
Objekte dagegen sind, soweit nur die Eigenart der axiomatischen 
Methode in Betracht kommt, belanglos. Man könnte diese Namen 
an sich ganz entbehren und statt ihrer nur die Buchstaben A, a, a usw. 
Ü Auf den kontradiktorischen Charakter der Mathematik lind die Folgerungen, 
die daraus zu ziehen sind, habe ich ausführlicher an anderer Stelle hingewiesen. (Jahresber. 
d. D. M. V. Bd. 15. 1906, S. 19.) Ich könnte mich auch auf Äußerungen von 
andern beziehen, die diesem Umstand gelegentlich Ausdruck gegeben haben; man 
vergleiche z. B. die Einleitung zu Poincare „der Wert der Wissenschaft - *. Anderer- 
seits ist klar, daß der Einzelne nur eine persönliche Meinung darüber äußern kann, 
worauf sich die mathematische Betätigung beschränken sollte. 
