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A. SCHOEXFLIES. 
benutzen; also das erste Axiom so aussprechen, daß zwei Objekte 8. 
und B stets ein Objekt c bestimmen usw. 1 ) 
Analog ist es für die zweite Axiomgruppe, die der Anordnung. 
Die in ihr eingeführten Begriffe und Beziehungen („Strecke“, und 
„zwischen“) sind wieder einzig und allein durch die sie betreffenden 
Axiome festgelegt, und es bilden die beiden Axiomgruppen die alleinige 
Quelle aller Sätze und Begriffe, die die Verknüpfung und Anordnung 
betreffen ; dazu gehört bekanntlich schon ein erheblicher Teil des Lehr- 
gebäudes der projektiven Geometrie. Das gleiche gilt ebenso von 
allen weiteren axiomatiscli eingeführten Objekten und Beziehungen. 
Immer ist ihr mathematischer Inhalt einzig und allein durch 
die Axiome bestimmt, die sie miteinander verbinden. 
So trivial diese Bemerkungen sein mögen, sollten sie doch eine 
Stelle finden; denn sie sind keineswegs immer beachtet worden, 
(vgl. § 8.) Umgekehrt möchte ich erwähnen, daß Herr Frege — ganz 
im Sinn der obigen Ausführungen — sogar soweit gegangen ist, für die 
mathematischen Objekte und Beziehungen künstlich gebildete Worte und 
Zeichen zu benutzen, um auf diese Weise alle Beweisquellen, die nicht in 
den axiomatischen Annahmen enthalten sind, auszuschließen. Das gleiche 
Ziel soll ja auch durch die PeanoscIic Zeichensprache erreicht werden. 
Um die Arbeit, die die axiomatische Methode auf einem Wissens- 
gebiet zu leisten hat, allgemeiner zu charakterisieren, muß ich einen 
Augenblick die Frage streifen, woher die Begriffe und Beziehungen 
stammen, die den Gegenstand der mathematischen Forschung bilden. 
Selbstverständlich teilweise aus der Empirie und teilweise aus der 
Phantasie. Mathematisch verwendbar werden sie aber insgesamt erst 
dann, wenn es gelingt, ihnen ein mathematisches Gepräge zu geben, 
sie mit einem eindeutigen vielmals völlig neuen Inhalt zu er- 
füllen, so daß sie sich logisch vollkommen verhalten, und den 
Aufbau eines kontradiktorisch gefügten Wissens gewährleisten. Dies 
gilt für alle Begriffe, mit denen man operiert, mögen sie grundlegend 
sein oder nicht, mag es sich um Punkte, Ebenen, Strecken und Winkel 
handeln, um die Funktion oder das Continuum, um die Menge oder 
die Begriffe endlich und unendlich. 2 ) Ihre eventuelle Reinigung und 
b Meines Erachtens besitzen wir auch in Geassmanx einen verdienstvollen Vor- 
läufer der axiomatischen Richtung; die oben erwähnten Axiome der Verknüpfung lauten 
bekanntlich bei ihm AB — c usw. Dieser Alegorithmus hat sicherlich auf die logische 
Herausschälung der einfachen Elemente des geometrischen Schließens auf das kräftigste 
hingewiesen und dadurch geholfen die axiomatische Methode vorzubereiten. 
2 ) Man vergl. was PoiNCARE in ,, Wissenschaft und Hypothese“ über implizite 
Axiome sagt, S. 44 ff. 
