Über die Stellung der Definition in der Axiomatik. 
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Umbildung, kurz ihre Erhebung zu mathematischen Objekten 
ist das, was die axiomatische, wie überhaupt die mathematische Me- 
thode in erster Linie zu leisten hat, und was insbesondere Hilbekt 
für die aus der allgemeinen Empirie stammenden geometrischen Vor- 
stellungen durchgeführt hat. Eine Ausnahme bilden naturgemäß nuk 
solche Worte, deren allgemeine Bedeutung man als logisch be- 
stimmt anzusehen hat, wie eindeutig, identisch, jeder, alle u. s. w., 
sie stellen Stammbegriffe dar, die wir — im Sinn von § 2 — in 
gleicher Weise als tatsächlich gegeben anzusehen haben, wie die 
logischen Regeln. 1 ) 
§ 4. Die Definition., 
a) Die Definition im engem Sinn. 
Jede Definition enthält einen Namen für eine Sache, oder, da es 
sich hier nur um mathematische Definitionen handelt, einen Namen 
für ein mathematisches Objekt. Da der Name belanglos ist, so kommt 
es nur auf das Objekt an. Dieses Objekt wird durch die Definition 
so eingeführt, daß sie seinen mathematischen Inhalt angibt. 2 ) Offenbar 
kann dies nur mittels bereits vorhandener Begriffe oder Beziehungen 
geschehen. 
Hiervon gibt es allerdings eine Ausnahme. Für die in § 3 er- 
wähnten axiomatischen Grundbegriffe und Beziehungen existieren der- 
artige Definitionen nicht; es ist evident, daß sie eine Zurückführung 
auf andere Begriffe nicht gestatten. Nichtsdestoweniger ist aber ihr 
mathemathischer Inhalt, wie schon oben erwähnt, wohl bestimmt; er 
wird durch die grundlegenden Axiome unzweideutig festgelegt. In 
verallgemeinertem Sprachgebrauch könnte man also diese Axiome eben- 
falls als Definitionen der Grundbegriffe ansehen; die Eigenart 
dieser Definitionen besteht dann darin, daß sie eine gewisse Gruppe 
von Begriffen und Beziehungen zugleich definieren. 
Ich gehe wieder zu den eigentlichen Definitionen zurück und 
will annehmen, daß für irgend ein Wissensgebiet ein vollständiges 
1 ) Eine ausführliche Begriffsbestimmung des Wortes ,.definit“ (= eindeutig be- 
stimmt) wie sie Zermelo in seiner Grundlegung gibt (Math. Ann. 65, S. 263) würde 
also der obigen Auffassung gemäß entbehrlich sein. Sie kann ja auch nur durch 
gleichwertige Worte umschrieben werden. (Vgl. auch § 5.) Dagegen eignet der Mathe- 
matik sehr wohl die Frage, ob eine zwischen mathematischen Objekten angenommene 
Beziehung den Charakter besitzt, der durch den bezüglichen logischen Begriff gefordert 
wird, also beispielsweise eindeutig oder definit ist. 
2 ) Genau genommen, müßte man stets von Objekten oder Beziehungen reden; 
der Einfachheit halber ist im Text meist nur von Objekten die Rede. Man kann ja 
auch von einer Beziehung sprachlich und logisch zu einem Objekt übergehen. 
Schriften d. Physik. -Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang LT. 18 
