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A. SCHOENFLIES. 
System von Axiomen vorhanden ist. Da die Definition ein mathe- 
matisches Objekt von gewissen Eigenschaften neu einführt, so wird 
durch ihren Inhalt eine mathematische Tatsache behauptet; eine solche 
bedarf, wie jede mathematische Tatsache, an sich eines Beweises. Er 
hat zu zeigen, daß die Existenz derjenigen Beziehung, die in der Defi- 
nition zum Ausdruck kommt, aus den zugrunde gelegten Axiomen 
gefolgert werden kann. Ihr Inhalt stützt sich also in diesem Fall 
auf einen Lehrsatz oder doch auf ein Beweisverfahren; Quadrat, regu- 
läres Polyeder, Convergenzradius usw. usw. sind Beispiele. 
Es ist hier nicht der Ort, eingehender darüber zu urteilen, was 
als Beweis oder Beweismethode zu gelten hat oder gar die Natur 
und Tragweite der verschiedenen Gattungen von Beweisen zu erörtern 
(konstruktiver Beweis, Existenzbeweis, indirekter Beweis usw.); es ist 
auch für den vorliegenden Zweck nur von sekundärer Bedeutung. 
Auf eine einfache Beweisart möchte ich jedoch besonders hin- 
weisen. Begriffe, wie Gruppe, Invariante, geschlossene Kurve, Erreich- 
barkeit stützen sich auf die Verallgemeinerung eines Spezialfalles; 
ich bemerke aber ausdrücklich, daß dieser Spezialfall stets an einem 
oder mehreren bereits vorhandenen mathematischen Objekten 
realisiert sein muß, wenn er einen Beweis für die Existenz des Begriffs 
darstellen soll. So naturgemäß und selbstverständlich diese Ein- 
schränkung auch ist, so wollte ich sie doch im Hinblick auf spätere 
Ausführungen ausdrücklich erwähnen. Liegt aber ein solcher Spezial- 
fall vor, so pflegt man in ihm einen ausreichenden Beweis für die 
Existenz des in der Definition beschriebenen Begriffs zu sehen. 
Allerdings ist hier auch eine andere Auffassung möglich und teil- 
weise üblich. Will man z. B. die Gruppentheorie axioma tisch be- 
gründen, so wird man vorziehen, den Gruppenbegriff und seine Eigen- 
schaften axiomatisch an die Spitze zu stellen. Die Existenz des 
Spezialfalles verbürgt dann nur die Widerspruchslosigkeit des axio- 
matisch eingeführten Begriffs und der ihn charakterisierenden Be- 
ziehungen. 
b) Definitionen von axiomatischem Charakter. 
Dem Vorstehenden entspricht die ,, strengere“ Art, in der Weier- 
strass (im Gegensatz zu Biemann) die Theorie der analytischen 
Funktionen behandelt; indem er jede einzelne auf die erzeugende Potenz- 
reihe stützt, gibt er einen unmittelbaren Beweis für ihre Existenz. 1 ) 
b Daß auch in ihn gewisse axiomatische Voraussetzungen über das komplexe 
Gebiet (Zahl und Grenzbegriff) eingehen, bedarf kaum der Erwähnung. 
