Uber die Stellung der Definition in der Axioraatik. 
267 
Derselben Auffassung entspricht es, daß Hessenberg und Zermelo 
die Definition von unendlichen Mengen auf die Fälle beschränken 
wollen, in denen man ihre Existenz mit Hilfe der zu Grunde 
gelegten Axiome aus vorhandenen Mengen ableiten kann; augen- 
scheinlich eingeschüchtert, wenn ich so sagen darf, durch das Gespenst 
der RussELLschen Mengen und ähnlicher Paradoxa. Tatsächlich geht 
aber der Fortschritt der mathematischen Erkenntnis vorwiegend auf 
andere Weise vor sich; er geschieht durch freie Bildung neuer 
Objekte und Beziehungen, die die schöpferische Phantasie erschafft, 
die sich zwar ebenfalls auf bereits vorhandene mathematische Begriffe 
und Beziehungen stützen, aber nicht den Ausdruck einer im obigen 
Sinne erwiesenen oder doch erweisbaren Tatsache bilden. Und wer 
wollte dieses Mittel des wissenschaftlichen Fortschreitens eliminieren? 
Nur haben wir vom axiomati sehen Standpunkt aus den so eingeführten 
Objekten oder Beziehungen ebenfalls axiomatischen Charakter bei- 
zulegen; naturgemäß vorausgesetzt, daß sie sich dem kontradiktorischen 
Bau der Mathematik einfiigen lassen, also mit den vorhandenen 
mathematischen Tatsachen und den logischen Gesetzen im Einklang 
stehen. Ist es aber so, so steht nichts im Wege, auch sie — - im Sinne 
von § 3 — zu mathematischen Objekten zu erheben und sie dem 
vollständigen System der axiomatischen Voraussetzungen eines 
Wissensgebietes hinzuzufügen. 1 ) 
Ich erinnere z. B. an die Stellung, die man heute dem Grenzwert 
und der Irrationalzahl gegenüber einnimmt. Ich erinnere ferner an 
die Du-Boisschen Unendlich, an die unendlichen Determinanten und die 
divergenten Reihen. Sie alle stellen Begriffe axiomatischen Charakters 
dar; wenn auch ihre axiomatische Einführung meist nicht in der voll- 
kommenen Form zu geschehen pflegt, die an sich geboten wäre. 2 ) Bei 
den divergenten Reihen schien sogar die Möglichkeit, auch sie zu 
mathematisch verwendbaren Objekten zu erheben, lange Zeit nicht 
vorhanden zu sein. Ganz analog ist es in der Geometrie ; auch sie hat 
es verstanden, durch Neuschöpfungen von Objekten ihr Gebiet über 
den Bereich auszudehnen, der mit den elementaren Axiomen erreichbar 
ist; ich erinnere an den ^-dimensionalen Raum, an die RiEMANNschen 
Flächen, an die Meßbarkeit und den Inhalt der Punktmengen, an die 
p Auch damit soll keineswegs etwas neues gesagt werden. Ich verweise z. B. 
darauf, daß sich Hilbert in seinem Heidelberger Vortrag (a. a. O. S. 182) ganz 
analog ausspricht. 
2 ) Ein Beispiel, in dem dies in neuerer Zeit durchgeführt worden ist, sind die 
Begriffe des Inhalts und der Meßbarkeit der Punktmengen; vgl. die Lecons sur l’inte- 
gration von Lebesgue Kap. VII (Paris, 1909). 
18 * 
