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A. SCHOENFLIES. 
Transfiniten Veroneses, an die STUDYsche Einführung der verschiedenen 
Möglichkeiten, das endliche Gebiet durch uneigentliche (unendlichferne) 
Elemente zu einem abgeschlossenen zu machen usw. usw. J ) 
Begriffen dieser Art steht man insbesondere dann vielfach gegen- 
über, wenn es sich um die Einteilung eines vorhandenen mathematischen 
Objekts in Unterklassen handelt, die einander kontradiktorisch gegen- 
überstehen. Um zunächst eines der berühmtesten Beispiele anzuführen, 
erinnere ich an die Begriffe, Viereck mit drei rechten und einem 
spitzen oder stumpfen Winkel; hier hat die Prüfung der Frage, ob 
diese Begriffe mit den Axiomen der Verknüpfung, der Anordnung 
und Kongruenz verträglich sind, viele Jahrzehnte gedauert. Angesichts 
ihrer prinzipiellen Bedeutung sehen wir heute allgemein in ihrer 
Existenz, resp. in der dadurch angenommenen mathematischen Be- 
ziehung eines der Axiome der nichteuklidischen Geometrie. 2 3 ) 
Das gleiche gilt von Dedekinds Einführung der unendlichen 
Mengen. Eine kontradiktorische Zweiteilung führt zunächst auf die 
zwei Fälle, daß eine Menge einer ihrer (ächten) Teilmengen aequivalent 
sein kann oder nicht; in der Forderung, auch Mengen, die der im 
ersten Fall aufgestellten Beziehung entsprechen, als mathematische 
Objekte zuzulassen, haben wir daher eine Forderung von axiomatischem 
Charakter zu sehen, die der Zulassung der nichteuklidischen Vierecke 
ganz analog ist; wird doch sogar behauptet, daß diese Frage noch 
nicht in demselben Sinne bejahend zu beantworten sei, wie in der 
nichteuklidischen Geometrie. 
Dedekind steht der Einführung der unendlichen Mengen bekannt- 
lich anders gegenüber; er hat für die Existenz dieses Begriffes einen 
Beweis gegeben. Der Beweis stützt sich darauf, daß der Begriff in einem 
speziellen Fall realisiert ist. Hilbert und andere haben diesen Beweis 
nicht anerkannt; dem muß ich mich anschließen, allerdings aus Gründen 
anderer Art, Der Dedekinds che Beweis erfüllt nämlich nicht die in § 4 a 
auf gestellte Forderung, daß der Spezialfall durch ein bereits vor- 
handenes mathematisches Objekt realisiert ist. Begründet man 
insbesondere die allgemeine Mengenlehre so, daß man die ganze Zahl 
2 ) Alle diese Begriffe sind denen analog, die man physikalisch als Forschungs- 
hypothese bezeichnet; nur daß es sich in der Mathematik ausschließlich um 
dauernde Verträglichkeit der logischen und mathematischen Folgerungen handelt, 
während in der Physik auch die Verträglichkeit mit der Welt der experimentalen 
Tatsachen in Frage steht. 
3 ) Dasselbe gilt von dem Viereck mit vier rechten Winkeln in der euklidischen 
Geometrie. Das Viereck mit stumpfem Winkel ist bekanntlich mit den HiLBERTschen 
Axiomen der Anordnung nicht verträglich, diese bedürfen der Abänderung. 
