Uber die Stellung der Definition in der Axiomatik. 
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und die Theorie der endlichen Mengen voraussetzt, so entspricht auch 
schon die Gesamtheit der ganzen Zahlen der DEDEKiNüschen Definition; 
diese Gesamtheit stellt aber im Rahmen der Theorie der endlichen 
Mengen kein bereits vorhandenes mathematisches Objekt dar; also 
keines, dem man sein mathematisches Bürgerrecht bereits gesichert 
hätte. Die Frage, um die es sich in der Theorie der unendlichen Mengen 
in erster Linie handelt, ist vielmehr gerade die, ob und inwieweit es 
gestattet ist, Mengen, die der DEDEKiNüschen Definition entsprechen 
und die beispielsweise durch die sämtlichen ganzen Zahlen vertreten 
werden, im Sinne von § 3 zu einem mathematischen Objekt zu erheben, 
das sich dem kontradiktorischen Bau der Mathematik einfügen läßt. 1 ) 
c) Independente Definitionen. 
Ähnlich steht es mit der großen Klasse der „independenten“ De- 
finitionen. Dahin rechne ich alle, die sich auf Begriffe axiomatischer 
Natur stützen, und von ihnen ihr Loben empfangen, deren be- 
sonderer Inhalt aber ebenfalls auf freier Schöpfung beruht. Auch 
für sie kann eine andere Schranke, als ihr kontradiktorischer Charakter 
nicht gefordert werden, ohne dem Fortschritt des Wissens Fesseln 
anzulegen. Wird z. B. im komplexen Gebiet die Potenzreihe als Aus- 
gangsdefinition der analytischen Funktion zugrunde gelegt, so darf 
man für die Bestimmung der unendlich vielen Koeffizienten jegliche 
Bestimmung treffen, die einen Fortschritt des Wissens erhoffen 
läßt, mit der einzigen Beschränkung, die durch den kontradiktorischen 
Charakter der Mathematik bedingt ist. Die moderne Entwickelung 
der Theorie der ganzen transzendenten Funktionen liefert ein schlagendes 
Beispiel. Nirgends wird eine Schranke anderer Art für nötig erachtet. 
Warum sollte man also in der Mengenlehre nicht ebenso verfahren? 
Dabei ist es naturgemäß völlig gleichgültig, ob ein etwaiger Wider- 
spruch rein logisch oder durch vorhandene mathematische Tatsachen 
bedingt ist. Ich halte es daher nicht für einen Vorzug, wenn sich 
die Mengenlehre, wie Zermelo es befürwortet, auf Einführung solcher 
Mengen beschränken soll, deren Existenz auf Grund eines an die 
Spitze gestellten Axiomensystems aus bereits vorhandenen Mengen 
ableitbar ist. 2 ) Das bedeutet eine durch nichts gebotene Einschränkung. 
b Daß dies analog zum Viereck mit stumpfen Winkeln nur so möglich ist, daß 
gewisse Axiome aus der Theorie der endlichen Mengen abgeändert werden, erwähne ich 
beiläufig. 
2 ) Vgl. a. a. O. S. 263, wo es heißt: Erstens dürfen mit Hilfe dieses Axioms (des 
Axioms der Aussonderung) niemals Mengen independent definiert, sondern immer 
nur als Untermengen aus bereits gegebenen ausgesondert werden. 
