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A. SCHOENFLIES. 
Die Menge aller Punkte des Raumes oder aller Funktionen, die Menge 
aller abzahlbaren Mengen können gleichfalls das Recht beanspruchen, 
als mathematische Objekte zugelassen zu werden und haben die Prüfung, 
ob sie dem kontradiktorischen Gefüge gehorchen, längst bestanden. 
Selbst auf ZERMELOscher Grundlage könnte man die einzelnen Punkt- 
mengen nur so einführen, daß man sie aus der Menge aller Punkte 
des Raumes aussonderte; und diese ist doch ebenfalls eine independente 
Menge. 
Für die RussELLsche Menge dagegen und das sogenannte D ist 
diese Prüfung bekanntlich negativ ausgefallen: sie können mathe- 
matische Objekte nicht darstellen. Und vom Begriff der ,, endlichen 
Definierbarkeit“ ist die mathematische Verwendbarkeit oder eine be- 
sondere Inhaltsbestimmung, die diese gestatten würde, jedenfalls bis- 
lang nicht vorhanden; ihm kommt daher ein mathematisches Bürger- 
recht gleichfalls nicht zu. 1 ) (Vgl. auch § 6.) 
d) Schlußfolgerung. 
Hiermit bin ich zu dem Ergebnis gelangt, dem ich bereits am 
Ende von § 3 Ausdruck gegeben habe, und in dem ich die letzte 
Konsequenz und das letzte Ziel der axiomatischen Denkweise erblicke. 
Denn dieses Ziel kann kein anderes sein, als das, die Welt der mathe- 
matischen Objekte und Beziehungen so aufzubauen, daß sie sämtlich 
mittelbar oder unmittelbar durch Voraussetzungen und Annahmen 
axiomatischen Charakters gestützt sind, daß sie aber im übrigen 
nur in dem kontradiktorischen Gefüge der Mathematik eine 
Schranke haben. Mögen sie an Vorstellungen anknüpfen, die aus 
Ü Sachlich spricht sich auch Zermelo so aus; Math. Arm. 65 (1908) S. 264; 
allerdings mit der Motivierung, daß durch die freilich etwas im Dunkel bleibenden „Grund- 
beziehimgen des Bereiches“ nicht entschieden werden könne, ob die Definition für ein 
Element des Bereichs zutrifft oder nicht. Über diese Grundbeziehuugen vgl. auch § 9. 
Poixcare hat die Ein wände, die ich früher gegen das RiCHARDsche Paradoxon 
gerichtet habe, zu entkräften gesucht. Der Gegensatz unserer Meinungen ist aber nur 
darin begründet, daß die ,, endliche Definierbarkei t“ jedenfalls im allgemeinsten Umfang 
kein mathematisch verwendbarer Begriff ist; sie ist mit all der Unbestimmtheit behaftet, 
die einer Wortdefinition eigen ist. Damit scheidet auch die auf diesem Begriff ruhende 
RiCHARDsche Autonomie als mathematisches Problem aus. (Vgl. auch § 5.) 
Den inneren Grund der Unbestimmtheit erblicke ich übrigens darin, daß man, 
um unendlich viele Dezimalstellen festzulegen, notwendig Worte benutzen muß, die 
sich selber auf unendlich viele Objekte beziehen; und dies muß wieder bewirken, daß 
man solche Definitionen, wie ich sie a. a. O. benutze, als möglich zuzulassen hat. 
Jedenfalls aber ist man nicht berechtigt, sie nur auf Grund einer gewissen Inter- 
pretation der Worte „endlich definierbar“ als unzulässig abzulehnen, worauf die 
PoixcAREsche Kritik ruht. 
